Упр.9.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:
а) $$2x^5+x^3+5x-80=\sqrt[3]{14-3x}$$;
б) $$\sqrt[4]{10+3x}=74-x^5-3x^3-8x$$.
а) Рассмотрим функции
$$f(x)=2x^5+x^3+5x-80,$$
$$g(x)=\sqrt[3]{14-3x}.$$
Найдём их производные:
$$f'(x)=10x^4+3x^2+5>0,$$
значит, функция $$f(x)$$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Для второй функции:
$$g'(x)=-\frac{1}{\sqrt[3]{(14-3x)^2}}<0,$$
следовательно, $$g(x)$$ строго убывает.
Так как левая часть возрастает, а правая убывает, уравнение может иметь не более одного решения. Проверим число $$x=2$$:
$$2\cdot 2^5+2^3+5\cdot 2-80=64+8+10-80=2,$$
$$\sqrt[3]{14-3\cdot 2}=\sqrt[3]{8}=2.$$
Значит, $$x=2$$ — решение уравнения.
б) Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt[4]{10+3x},$$
$$g(x)=74-x^5-3x^3-8x.$$
Найдём производные:
$$f'(x)=\frac{3}{4\sqrt[4]{(10+3x)^3}}>0,$$
поэтому $$f(x)$$ строго возрастает.
Для второй функции:
$$g'(x)=-5x^4-9x^2-8<0,$$
значит, $$g(x)$$ строго убывает.
Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=2$$:
$$\sqrt[4]{10+3\cdot 2}=\sqrt[4]{16}=2,$$
$$74-2^5-3\cdot 2^3-8\cdot 2=74-32-24-16=2.$$
Значит, $$x=2$$ — решение уравнения.
Ответ
а) $$2$$; б) $$2$$.
