Упр.9.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график уравнения: а) $$(3y+x)^3=27x$$; б) $$(x+y)^3=x^2$$.

а) Из уравнения

$$(3y+x)^3=27x$$

получаем

$$3y+x=\sqrt[3]{27x}=3\sqrt[3]{x},$$

откуда

$$y=\sqrt[3]{x}-\frac{x}{3}.$$

Функция нечётная, так как

$$y(-x)=\sqrt[3]{-x}+\frac{x}{3}=-\sqrt[3]{x}+\frac{x}{3}=-y(x).$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}-\frac{1}{3}=\frac{1-\sqrt[3]{x^2}}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

Критические точки определяются из условия

$$1-\sqrt[3]{x^2}=0,$$

то есть

$$\sqrt[3]{x^2}=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

При $$x=0$$ производная не существует, но функция определена.

Знаки производной:

$$y'(x)>0 \text{ при } -1<x<0 \text{ и } 0<x<1,$$

$$y'(x)<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1.$$

Значит, график возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает при $$x<-1$$ и $$x>1$$. Максимум достигается при $$x=1$$:

$$y(1)=\sqrt[3]{1}-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

Для построения отметим несколько точек:

По этим точкам строим плавную нечётную кривую.

б) Из уравнения

$$(x+y)^3=x^2$$

получаем

$$x+y=\sqrt[3]{x^2},$$

откуда

$$y=\sqrt[3]{x^2}-x.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}-1=\frac{2-3\sqrt[3]{x}}{3\sqrt[3]{x}}.$$

Производная не существует при $$x=0$$, но функция в этой точке определена.

Исследуем знак производной:

$$y'(x)>0 \text{ при } 0<x<\frac{8}{27},$$

$$y'(x)<0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>\frac{8}{27}.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left(\frac{8}{27};+\infty\right)$$, возрастает на $$\left(0;\frac{8}{27}\right)$$.

Максимум достигается при

$$x=\frac{8}{27},$$

и тогда

$$y\left(\frac{8}{27}\right)=\sqrt[3]{\left(\frac{8}{27}\right)^2}-\frac{8}{27}=\left(\frac{2}{3}\right)^2-\frac{8}{27}=\frac{4}{9}-\frac{8}{27}=\frac{4}{27}.$$

Для построения отметим точки:

По ним строим график функции.

Ответ

а) $$y=\sqrt[3]{x}-\dfrac{x}{3}$$; максимум $$\dfrac{2}{3}$$ при $$x=1$$.

б) $$y=\sqrt[3]{x^2}-x$$; максимум $$\dfrac{4}{27}$$ при $$x=\dfrac{8}{27}$$.