Упр.9.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Исследуйте функцию $$y=f(x)$$ на монотонность и экстремум и постройте её график:
а) $$y=\sqrt{x}-x$$; б) $$y=\frac{x-1}{x}$$; в) $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}$$; г) $$y=x\sqrt{x}+2$$.
а) $$y=\sqrt{x}-x$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Критическая точка из условия $$y'(x)=0$$:
$$1-2\sqrt{x}=0,\quad \sqrt{x}=\frac12,\quad x=\frac14.$$
Знак производной:
при $$0<x<\frac14$$ имеем $$y'(x)>0,$$ при $$x>\frac14$$ имеем $$y'(x)<0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[0;\frac14\right]$$ и убывает на $$\left[\frac14;+\infty\right).$$
В точке $$x=\frac14$$ достигается максимум:
$$y_{\max}=y\!\left(\frac14\right)=\frac12-\frac14=\frac14.$$
Для построения графика удобно взять точки:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$4$$ | $$9$$ |
|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$-2$$ | $$-6$$ |
б) $$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x}$$
Область определения: $$x-1\ge 0,\; x\ne 0,$$ значит $$x\ge 1.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{\left(\sqrt{x-1}\right)’ \cdot x-\sqrt{x-1}\cdot x’}{x^2} =\frac{\frac{x}{2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}}{x^2} =\frac{2-x}{2\sqrt{x-1}\,x^2}.$$
Так как знаменатель положителен при $$x>1,$$ знак производной определяется числителем $$2-x.$$
Значит, функция возрастает на $$[1;2]$$ и убывает на $$[2;+\infty).$$
В точке $$x=2$$ достигается максимум:
$$y_{\max}=y(2)=\frac{\sqrt{2-1}}{2}=\frac12.$$
Для построения графика удобно взять точки:
| $$x$$ | $$1$$ | $$5$$ | $$10$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0$$ | $$0{,}4$$ | $$0{,}3$$ |
в) $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-\frac{1}{2x^{3/2}}+\frac{1}{2x^{1/2}}=\frac{x-1}{2x^{3/2}}.$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$x-1.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$
В точке $$x=1$$ достигается минимум:
$$y_{\min}=y(1)=\frac{1}{\sqrt{1}}+\sqrt{1}=2.$$
Для построения графика удобно взять точки:
| $$x$$ | $$0{,}25$$ | $$4$$ | $$9$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$2{,}5$$ | $$2{,}5$$ | $$\approx 3{,}3$$ |
г) $$y=x\sqrt{x+2}$$
Область определения: $$x+2\ge 0,$$ то есть $$x\ge -2.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\sqrt{x+2}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+2}} =\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} =\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}.$$
При $$x>-2$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем $$3x+4.$$
Критическая точка:
$$3x+4=0,\quad x=-\frac43.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left[-2;-\frac43\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac43;+\infty\right).$$
В точке $$x=-\frac43$$ достигается минимум:
$$y_{\min}=y\!\left(-\frac43\right)=-\frac43\sqrt{-\frac43+2} =-\frac43\sqrt{\frac23} =-\frac{4\sqrt6}{9}.$$
Для построения графика удобно взять точки:
| $$x$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$2$$ |
|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$4$$ |
Ответ
а) возрастает на $$\left[0;\frac14\right]$$, убывает на $$\left[\frac14;+\infty\right)$$; $$x=\frac14$$ — точка максимума, $$y_{\max}=\frac14$$.
б) возрастает на $$[1;2]$$, убывает на $$[2;+\infty)$$; $$x=2$$ — точка максимума, $$y_{\max}=\frac12$$.
в) убывает на $$\left(0;1\right]$$, возрастает на $$\left[1;+\infty\right)$$; $$x=1$$ — точка минимума, $$y_{\min}=2$$.
г) убывает на $$\left[-2;-\frac43\right]$$, возрастает на $$\left[-\frac43;+\infty\right)$$; $$x=-\frac43$$ — точка минимума, $$y_{\min}=-\frac{4\sqrt6}{9}$$.
