Упр.9.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x$$; б) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x=\frac{2}{3}x^{3/2}-2x.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}-2=\sqrt{x}-2.$$
Исследуем знак производной:
$$y'(x)=0 \iff \sqrt{x}-2=0 \iff x=4.$$
При $$0\le x<4$$ имеем $$\sqrt{x}-2<0,$$ значит функция убывает. При $$x>4$$ имеем $$\sqrt{x}-2>0,$$ значит функция возрастает.
Следовательно, в точке $$x=4$$ функция имеет минимум:
$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot 4\sqrt{4}-2\cdot 4=\frac{2}{3}\cdot 8-8=\frac{16}{3}-\frac{24}{3}=-\frac{8}{3}.$$
Итак, функция убывает на $$[0;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty).$$
б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}x^{-1/3}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Критическая точка определяется из уравнения
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0 \iff \sqrt[3]{x}=1 \iff x=1.$$
На промежутке $$0<x<1$$ производная положительна, а при $$x>1$$ — отрицательна. Значит, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ функция имеет максимум:
$$y(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{2/3}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.$$
Следовательно, $$x=1$$ — точка максимума, $$y_{\max}=\frac{1}{2}.$$
Ответ
а) Функция убывает на $$[0;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty)$$; $$x=4$$ — точка минимума, $$y_{\min}=-\frac{8}{3}.$$
б) Функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$; $$x=1$$ — точка максимума, $$y_{\max}=\frac{1}{2}.$$
