Упр.9.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Составьте уравнение той касательной к графику функции $$y=x^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}$$, которая отсекает от осей координат треугольник площадью $$0{,}75$$.
   б) Составьте уравнение той касательной к графику функции $$y=x\sqrt[3]{x}$$, которая отсекает от осей координат треугольник площадью $$\frac{1}{24}$$.

а) Пусть $$x=a$$ — абсцисса точки касания. Тогда

$$f(x)=x^{\frac23}+\frac23,\qquad f'(x)=\frac23x^{-\frac13}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=\sqrt[3]{a^2}+\frac23+\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}(x-a).$$

После преобразования получаем

$$y=\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}x+\frac13\sqrt[3]{a^2}+\frac23.$$

Найдём отрезки, отсекаемые касательной на осях координат:

$$y(0)=\frac13\sqrt[3]{a^2}+\frac23,$$

$$\frac{2}{3\sqrt[3]{a}}x+\frac13\sqrt[3]{a^2}+\frac23=0,$$

$$x=-\frac{a+2\sqrt[3]{a}}{2}.$$

Тогда площадь треугольника

$$S=\frac12\cdot \left|\,-\frac{a+2\sqrt[3]{a}}{2}\right|\cdot \left(\frac13\sqrt[3]{a^2}+\frac23\right)=\frac34.$$

Положим $$t=\sqrt[3]{a}$$. Тогда $$a=t^3$$, и из условия получаем

$$\frac{(t^3+2t)(t^2+2)}{12}=\frac34,$$

$$t^5+4t^3+4t=9.$$

Подходит $$t=1$$, значит $$a=1$$. Тогда

$$y=\frac23x+1.$$

б) Пусть $$x=a$$ — абсцисса точки касания. Тогда

$$f(x)=x\sqrt[3]{x}=x^{\frac43},\qquad f'(x)=\frac43x^{\frac13}=\frac{4\sqrt[3]{x}}{3}.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=a\sqrt[3]{a}+\frac{4\sqrt[3]{a}}{3}(x-a).$$

После преобразования

$$y=\frac{4\sqrt[3]{a}}{3}x-\frac{\sqrt[3]{a^4}}{3}.$$

Найдём отрезки, отсекаемые на осях:

$$y(0)=-\frac{\sqrt[3]{a^4}}{3},$$

$$\frac{4\sqrt[3]{a}}{3}x-\frac{\sqrt[3]{a^4}}{3}=0,$$

$$x=\frac{a}{4}.$$

Тогда

$$S=\frac12\cdot \left|\frac{a}{4}\right|\cdot \left|\,-\frac{\sqrt[3]{a^4}}{3}\right|=\frac{1}{24}.$$

Отсюда

$$\frac{\sqrt[3]{a^7}}{24}=\frac{1}{24},\qquad \sqrt[3]{a^7}=1,\qquad a=1.$$

Следовательно,

$$y=\frac43x-\frac13.$$

Ответ

а) $$y=\frac23x+1$$; б) $$y=\frac43x-\frac13$$.