Упр.9.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Проведите касательную к графику функции $$y=f(x)$$ из данной точки $$M$$:
   а) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$M(0;1)$$;
   б) $$f(x)=x^{\frac{3}{2}}+4$$, $$M(0;0)$$.

Пусть $$a$$ — абсцисса точки касания. Тогда уравнение касательной имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а)

$$f(x)=\sqrt{x}, \quad M(0;1).$$

Тогда

$$f(a)=\sqrt{a}, \quad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a)=\frac{x+a}{2\sqrt{a}}.$$

Так как касательная проходит через точку $$M(0;1)$$, получаем

$$1=\frac{a}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{2}.$$

Отсюда

$$\sqrt{a}=2, \quad a=4.$$

Подставим $$a=4$$:

$$y=\frac{x+4}{4}=\frac14x+1.$$

б)

$$f(x)=x^{\frac32}+4, \quad M(0;0).$$

Тогда

$$f(a)=a^{\frac32}+4, \quad f'(x)=\frac32x^{\frac12}, \quad f'(a)=\frac32\sqrt{a}.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^{\frac32}+4+\frac32\sqrt{a}(x-a).$$

Раскроем скобки:

$$y=\frac32\sqrt{a}\,x+4-\frac12a^{\frac32}.$$

Так как касательная проходит через точку $$M(0;0)$$, имеем

$$0=4-\frac12a^{\frac32}.$$

Следовательно,

$$a^{\frac32}=8, \quad \sqrt{a^3}=8, \quad a^3=64, \quad a=4.$$

Подставим $$a=4$$:

$$y=\frac32\cdot 2\,x=3x.$$

Ответ

а) $$y=\frac14x+1$$; б) $$y=3x$$.