Упр.9.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Проведите касательную к графику функции $$y=f(x)$$, параллельную заданной прямой $$y=kx+m$$: а) $$f(x)=4\sqrt[4]{x}$$, $$y=x-2$$; б) $$f(x)=\frac{1}{x^3}$$, $$y=5-3x$$.

Чтобы касательная к графику функции $$y=f(x)$$ была параллельна прямой $$y=kx+m,$$ её угловой коэффициент должен быть равен $$k.$$ Поэтому находим точки касания из условия $$f'(x)=k.$$

а)

$$f(x)=4\sqrt[4]{x}, \qquad y=x-2.$$

У прямой $$y=x-2$$ угловой коэффициент равен $$1,$$ значит, ищем точку, в которой

$$f'(x)=1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4\cdot \frac14 x^{-3/4}=x^{-3/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}.$$

Тогда

$$\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt[4]{x^3}=1 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(1)=4\sqrt[4]{1}=4.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=4+1\cdot(x-1)=x+3.$$

б)

$$f(x)=\frac{1}{x^3}, \qquad y=5-3x.$$

У прямой $$y=5-3x$$ угловой коэффициент равен $$-3,$$ значит, ищем точки, где

$$f'(x)=-3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(x^{-3}\right)’=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}.$$

Решаем уравнение:

$$-\frac{3}{x^4}=-3 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^4}=1 \quad \Rightarrow \quad x^4=1 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 1.$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$f(1)=1, \qquad f(-1)=-1.$$

Уравнения касательных:

$$y=1-3(x-1)=4-3x,$$

$$y=-1-3(x+1)=-4-3x.$$

Ответ: а) $$y=x+3$$; б) $$y=4-3x$$ и $$y=-4-3x$$.