Упр.9.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Исследуйте степенную функцию на четность: а) $$y=x^{10}$$; б) $$y=x^{-\frac{1}{3}}$$; в) $$y=x^{-15}$$; г) $$y=x^{\frac{4}{3}}$$.

Исследуем каждую функцию по определению чётности: проверим область определения и сравним $$f(-x)$$ с $$f(x)$$ и $$-f(x)$$.

1. $$y=x^{10}$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   $$f(-x)=(-x)^{10}=x^{10}=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

2. $$y=x^{-\frac13}$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   $$f(-x)=(-x)^{-\frac13}=-x^{-\frac13}=-f(x).$$

   Но область определения симметрична относительно нуля, значит функция нечётная.

3. $$y=x^{-15}$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   $$f(-x)=(-x)^{-15}=-x^{-15}=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

4. $$y=x^{\frac43}$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   $$f(-x)=(-x)^{\frac43}=\left(\sqrt[3]{-x}\right)^4=\left(-\sqrt[3]{x}\right)^4=x^{\frac43}=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

Ответ: а) чётная; б) нечётная; в) нечётная; г) чётная.