Упр.9.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Напишите уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$: а) $$y=\sqrt[3]{3x-1},\ a=3$$; в) $$y=(2x+5)^{-\frac{1}{2}},\ a=2$$; б) $$y=\sqrt[3]{2\sin x},\ a=\frac{\pi}{6}$$; г) $$y=\frac{1}{\sqrt{2}\cos x},\ a=\frac{\pi}{3}$$.

Используем формулу касательной к графику функции в точке $$x=a$$:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

1. $$y=\sqrt[3]{3x-1}, \quad a=3.$$

   $$f(3)=\sqrt[3]{3\cdot 3-1}=\sqrt[3]{8}=2.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{3}(3x-1)^{-2/3}\cdot 3=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}}.$$

   $$f'(3)=\frac{1}{\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{4}.$$

   $$y=2+\frac14(x-3)=\frac14x+\frac54.$$

2. $$y=\sqrt[3]{2\sin x}, \quad a=\frac{\pi}{6}.$$

   $$f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt[3]{2\sin\frac{\pi}{6}}=\sqrt[3]{1}=1.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{3}(2\sin x)^{-2/3}\cdot 2\cos x=\frac{2\cos x}{3\sqrt[3]{(2\sin x)^2}}.$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{3\cdot 1}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

   $$y=1+\frac{\sqrt3}{3}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{3}x+1-\frac{\pi\sqrt3}{18}.$$

3. $$y=(2x+5)^{-1/2}, \quad a=2.$$

   $$f(2)=(2\cdot 2+5)^{-1/2}=9^{-1/2}=\frac13.$$

   $$f'(x)=-\frac12(2x+5)^{-3/2}\cdot 2=-(2x+5)^{-3/2}=-\frac{1}{\sqrt{(2x+5)^3}}.$$

   $$f'(2)=-\frac{1}{\sqrt{9^3}}=-\frac{1}{27}.$$

   $$y=\frac13-\frac{1}{27}(x-2)=-\frac{1}{27}x+\frac{11}{27}.$$

4. $$y=\frac{1}{\sqrt{2\cos x}}, \quad a=\frac{\pi}{3}.$$

   $$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\cos\frac{\pi}{3}}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=1.$$

   $$f'(x)=\left(2\cos x\right)^{-1/2}{}’=-\frac12(2\cos x)^{-3/2}\cdot(-2\sin x)=\frac{\sin x}{\sqrt{(2\cos x)^3}}.$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt{1^3}}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   $$y=1+\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}x+1-\frac{\pi\sqrt3}{6}.$$

Ответ

а) $$y=\frac14x+\frac54$$; б) $$y=\frac{\sqrt3}{3}x+1-\frac{\pi\sqrt3}{18}$$; в) $$y=-\frac{1}{27}x+\frac{11}{27}$$; г) $$y=\frac{\sqrt3}{2}x+1-\frac{\pi\sqrt3}{6}$$.