Упр.9.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите угол, образованный касательной к графику функции $$y=g(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ с положительным направлением оси абсцисс:
   а) $$g(x)=\frac{2}{3}\sqrt{4-3x},\quad x_0=\frac{1}{3}$$;
   б) $$g(x)=-3(\sqrt{2}+x)^{-\frac{1}{3}},\quad x_0=1-\sqrt{2}$$.

Угол наклона касательной к графику функции равен углу $$\alpha$$, для которого $$\tan \alpha = g'(x_0).$$

а)

$$g(x)=\frac{2}{3}\sqrt{4-3x}, \quad x_0=\frac13.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{-3}{2\sqrt{4-3x}}=-\frac{1}{\sqrt{4-3x}}.$$

Тогда

$$g’\!\left(\frac13\right)=-\frac{1}{\sqrt{4-3\cdot \frac13}}=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

Следовательно,

$$\tan \alpha=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

Так как угол наклона касательной берётся в промежутке $$0<\alpha<\pi,$$ то

$$\alpha=\pi-\arctan \frac{\sqrt3}{3}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.$$

б)

$$g(x)=-3(\sqrt2+x)^{-1/3}, \quad x_0=1-\sqrt2.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=-3\cdot \left(-\frac13\right)(\sqrt2+x)^{-4/3}=(\sqrt2+x)^{-4/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{(\sqrt2+x)^4}}.$$

Тогда

$$g'(1-\sqrt2)=\frac{1}{\sqrt[3]{(\sqrt2+1-\sqrt2)^4}}=\frac{1}{\sqrt[3]{1}}=1.$$

Следовательно,

$$\tan \alpha=1,$$

откуда

$$\alpha=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{5\pi}{6}$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$.