Упр.9.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство $$f'(x)>0$$, если: а) $$f(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}+\frac{3}{2}x^{4/3}$$; б) $$f(x)=0{,}4x^{5/4}-\frac{8}{3}x^{3/4}$$.

а) $$f(x)=\frac{3}{5}x^{\frac53}+\frac{3}{2}x^{\frac43}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}x^{\frac23}+\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}x^{\frac13}=x^{\frac23}+2x^{\frac13}.$$

Решим неравенство:

$$x^{\frac23}+2x^{\frac13}>0.$$

Вынесем общий множитель:

$$x^{\frac13}\left(x^{\frac13}+2\right)>0.$$

Положим $$t=x^{\frac13}.$$ Тогда

$$t(t+2)>0,$$

откуда $$t<-2$$ или $$t>0.$$

Так как $$t=x^{\frac13},$$ получаем:

$$x<-8 \quad \text{или} \quad x>0.$$

Но область определения функции: $$x\ge 0.$$ Поэтому остаётся

$$x>0.$$

Ответ: $$x\in(0;+\infty).$$

б) $$f(x)=0{,}4x^{\frac54}-\frac{8}{3}x^{\frac34}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=0{,}4\cdot\frac54x^{\frac14}-\frac{8}{3}\cdot\frac34x^{-\frac14}=\frac12x^{\frac14}-2x^{-\frac14}.$$

Решим неравенство:

$$\frac12x^{\frac14}-2x^{-\frac14}>0.$$

Вынесем $$\frac12x^{-\frac14}$$:

$$\frac12x^{-\frac14}\left(x^{\frac12}-4\right)>0.$$

Так как область определения: $$x>0,$$ то $$\frac12x^{-\frac14}>0.$$ Значит, достаточно решить

$$x^{\frac12}-4>0,$$

то есть

$$\sqrt{x}>4 \quad \Rightarrow \quad x>16.$$

Ответ: $$x\in(16;+\infty).$$