Упр.9.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Решите уравнение $$g'(x)=0$$, если:
а) $$g(x)=2\sqrt{x}-x$$;
б) $$g(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{12}{5}x^{5/4}+2x$$;
в) $$g(x)=-\frac{3}{4}x^{4/3}-2x$$;
г) $$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{6}{7}x^{7/6}-2x$$.

Подробный ответ

Найдём производные и решим уравнение $$g'(x)=0$$ в каждом пункте.

$$g(x)=2\sqrt{x}-x$$
$$g'(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1}{\sqrt{x}}-1$$
Решаем уравнение:
$$\frac{1}{\sqrt{x}}-1=0$$
$$\frac{1}{\sqrt{x}}=1$$
$$\sqrt{x}=1$$
$$x=1$$
$$g(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{12}{5}x^{5/4}+2x$$
$$g'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}-\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{4}x^{1/4}+2=\sqrt{x}-3x^{1/4}+2$$
Решаем уравнение:
$$\sqrt{x}-3x^{1/4}+2=0$$
Пусть $$t=x^{1/4}$$, тогда $$\sqrt{x}=x^{1/2}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-3t+2=0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$
$$t=1 \text{ или } t=2$$
Тогда:
$$x^{1/4}=1 \Rightarrow x=1$$
$$x^{1/4}=2 \Rightarrow x=16$$
$$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-2x$$
$$g'(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}x^{1/3}-2=\sqrt[3]{x}-2$$
Решаем уравнение:
$$\sqrt[3]{x}-2=0$$
$$\sqrt[3]{x}=2$$
$$x=8$$
$$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{6}{7}x^{7/6}-2x$$
$$g'(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}x^{1/3}-\frac{6}{7}\cdot \frac{7}{6}x^{1/6}-2=\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2$$
Решаем уравнение:
$$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2=0$$
Пусть $$t=x^{1/6}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=x^{1/3}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-t-2=0$$
$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0$$
$$t=2 \text{ или } t=-1$$
Так как $$t=x^{1/6}\ge 0$$, подходит только $$t=2$$.
$$x^{1/6}=2 \Rightarrow x=64$$