Упр.9.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите скорость изменения функции $$y=h(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
   а) $$h(x)=x^{7/3}-(1-3x)^{-1},\quad x_0=0$$;
   б) $$h(x)=\sqrt[4]{\sin 2x},\quad x_0=\frac{\pi}{12}$$;
   в) $$h(x)=(3-x^{-1})^2,\quad x_0=-1$$;
   г) $$h(x)=\frac{\cos\left(x^{18}-3\sqrt[3]{x^7}+0{,}25\pi+\pi x\right)}{\pi},\quad x_0=0$$.

Найдём производную функции и подставим заданное значение $$x_0$$.

1. $$h(x)=x^{7/3}-(1-3x)^{-1}, \quad x_0=0.$$

   $$h'(x)=\frac{7}{3}x^{4/3}-\bigl((1-3x)^{-1}\bigr)’=\frac{7}{3}x^{4/3}-3(1-3x)^{-2}.$$

   Тогда

   $$h'(0)=\frac{7}{3}\cdot 0^{4/3}-3(1-3\cdot 0)^{-2}=0-3=-3.$$

2. $$h(x)=\sqrt[4]{2\sin 2x}=(2\sin 2x)^{1/4}, \quad x_0=\frac{\pi}{12}.$$

   $$h'(x)=\frac14(2\sin 2x)^{-3/4}\cdot (2\sin 2x)’=\frac14(2\sin 2x)^{-3/4}\cdot 4\cos 2x.$$

   Значит,

   $$h'(x)=\frac{\cos 2x}{\sqrt[4]{(2\sin 2x)^3}}.$$

   Подставим $$x_0=\frac{\pi}{12}$$:

   $$h’\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sqrt[4]{\left(2\sin \frac{\pi}{6}\right)^3}}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt[4]{1^3}}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

3. $$h(x)=(3-x^{-1})^2, \quad x_0=-1.$$

   $$h'(x)=2(3-x^{-1})\cdot (3-x^{-1})’=2(3-x^{-1})\cdot x^{-2}.$$

   Тогда

   $$h'(-1)=2\bigl(3-(-1)^{-1}\bigr)\cdot (-1)^{-2}=2(3+1)\cdot 1=8.$$

4. $$h(x)=\frac{\cos\!\left(x^{18}-3\sqrt[3]{x^7}+0{,}25\pi+\pi x\right)}{\pi}, \quad x_0=0.$$

   По правилу цепочки:

   $$h'(x)=-\frac{1}{\pi}\sin\!\left(x^{18}-3\sqrt[3]{x^7}+0{,}25\pi+\pi x\right)\cdot \left(18x^{17}-3\cdot \frac{7}{3}x^{4/3}+\pi\right).$$

   При $$x=0$$ получаем:

   $$h'(0)=-\frac{1}{\pi}\sin\frac{\pi}{4}\cdot \pi=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ответ: а) $$-3$$; б) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; в) $$8$$; г) $$-\frac{\sqrt2}{2}$$.