Упр.9.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
   а) $$f(x)=4-x^{-\frac{3}{4}}$$, $$x_0=1$$;
   б) $$f(x)=12x^{-\frac{1}{2}}-x$$, $$x_0=9$$;
   в) $$f(x)=2x^{\frac{2}{3}}-1$$, $$x_0=8$$;
   г) $$f(x)=x^{-3}+6\sqrt{x}$$, $$x_0=1$$.

Найдём производную функции и подставим заданное значение $$x_0$$. Угловой коэффициент касательной равен $$k=f'(x_0)$$.

1. $$f(x)=4-x^{-3/4}, \quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=0-\left(-\frac{3}{4}x^{-7/4}\right)=\frac{3}{4x^{7/4}}.$$

   $$k=f'(1)=\frac{3}{4}.$$

2. $$f(x)=12x^{-1/2}-x, \quad x_0=9.$$

   $$f'(x)=12\cdot\left(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\right)-1=-\frac{6}{x^{3/2}}-1.$$

   $$k=f'(9)=-\frac{6}{9^{3/2}}-1=-\frac{6}{27}-1=-\frac{2}{9}-1=-\frac{11}{9}.$$

3. $$f(x)=2x^{2/3}-1, \quad x_0=8.$$

   $$f'(x)=2\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{4}{3\sqrt[3]{x}}.$$

   $$k=f'(8)=\frac{4}{3\sqrt[3]{8}}=\frac{4}{3\cdot 2}=\frac{2}{3}.$$

4. $$f(x)=x^{-3}+6\sqrt{x}, \quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=-3x^{-4}+6\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{3}{x^4}+\frac{3}{\sqrt{x}}.$$

   $$k=f'(1)=-3+3=0.$$

Ответ: а) $$\frac{3}{4}$$; б) $$-\frac{11}{9}$$; в) $$\frac{2}{3}$$; г) $$0$$.