Упр.9.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите значение производной функции $$y=g(x)$$ в заданной точке $$x_0$$:
   а) $$g(x)=x^3-3\sqrt{x},\quad x_0=1$$;
   б) $$g(x)=\sqrt[3]{3x-1},\quad x_0=\frac{2}{3}$$;
   в) $$g(x)=x^{-1}+x^{-2},\quad x_0=1$$;
   г) $$g(x)=\frac{1}{3}(5-2x)^{-3},\quad x_0=2$$.

Найдём производные и подставим заданные значения аргумента.

1. $$g(x)=x^3-3\sqrt{x}, \quad x_0=1.$$

   $$g'(x)=3x^2-3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=3x^2-\frac{3}{2\sqrt{x}}.$$

   $$g'(1)=3\cdot 1^2-\frac{3}{2\sqrt{1}}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$$

2. $$g(x)=\sqrt[3]{3x-1}, \quad x_0=\frac{2}{3}.$$

   $$g'(x)=\frac{1}{3}(3x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot 3=(3x-1)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}}.$$

   $$g’\!\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{(3\cdot \frac{2}{3}-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}}=1.$$

3. $$g(x)=x^{-1}+x^{-2}, \quad x_0=1.$$

   $$g'(x)=-x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}.$$

   $$g'(1)=-\frac{1}{1^2}-\frac{2}{1^3}=-1-2=-3.$$

4. $$g(x)=\frac{1}{3}(5-2x)^{-3}, \quad x_0=2.$$

   $$g'(x)=\frac{1}{3}\cdot (-3)(5-2x)^{-4}\cdot (-2)=2(5-2x)^{-4}=\frac{2}{(5-2x)^4}.$$

   $$g'(2)=\frac{2}{(5-2\cdot 2)^4}=\frac{2}{1^4}=2.$$

Ответ: а) $$\frac{3}{2}$$; б) $$1$$; в) $$-3$$; г) $$2$$.