Упр.9.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=\frac{x^2-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x}+1}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}{\sqrt{x}+1}=(\sqrt{x}-1)(x+1).$$
Тогда
$$y=\sqrt{x}\,x+\sqrt{x}-x-1=x^{\frac32}+x^{\frac12}-x-1,$$
$$y’=\frac32x^{\frac12}+\frac12x^{-\frac12}-1=\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-1.$$
б) $$y=\frac{x+1}{\sqrt[3]{x}+1}=\frac{(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1)}{\sqrt[3]{x}+1}=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1.$$
Следовательно,
$$y=x^{\frac23}-x^{\frac13}+1,$$
$$y’=\frac23x^{-\frac13}-\frac13x^{-\frac23}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$
в) $$y=\frac{x^3-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{\sqrt{x}-1}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x^2+x+1)}{\sqrt{x}-1}=(\sqrt{x}+1)(x^2+x+1).$$
Тогда
$$y=x^2\sqrt{x}+x\sqrt{x}+\sqrt{x}+x^2+x+1=x^{\frac52}+x^{\frac32}+x^{\frac12}+x^2+x+1,$$
$$y’=\frac52x^{\frac32}+\frac32x^{\frac12}+\frac12x^{-\frac12}+2x+1=\frac{5\sqrt{x^3}}{2}+\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x+1.$$
г) $$y=\frac{x+1}{x^{\frac23}-x^{\frac13}+1}=\frac{(x^{\frac13}+1)(x^{\frac23}-x^{\frac13}+1)}{x^{\frac23}-x^{\frac13}+1}=x^{\frac13}+1.$$
Следовательно,
$$y’=\frac13x^{-\frac23}=\frac{1}{3x^{\frac23}}.$$
Ответ
а) $$y’=\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$$; б) $$y’=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$; в) $$y’=\frac52x^{\frac32}+\frac32x^{\frac12}+\frac12x^{-\frac12}+2x+1$$; г) $$y’=\frac{1}{3x^{\frac23}}$$.
