Упр.9.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=\frac{5x^3-3x^2+15x-7}{x}\sqrt{x}$$; б) $$y=\sqrt[3]{x-1\ 2x}\left(2\sin 2x+\cos x\right)$$; в) $$y=\frac{7x^8-5x^4+12x-\sqrt{x}-2}{\sqrt[3]{x}}$$; г) $$y=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\tg(3x-5)$$.

а) Представим функцию в виде суммы степеней:

$$y=\frac{5x^3-3x^2+15x-7}{x\sqrt{x}}=5x^{3/2}-3x^{1/2}+15x^{-1/2}-7x^{-3/2}.$$

Тогда

$$y’=\frac{15}{2}x^{1/2}-\frac{3}{2}x^{-1/2}-\frac{15}{2}x^{-3/2}+\frac{21}{2}x^{-5/2}.$$

Следовательно,

$$y’=\frac{15\sqrt{x}}{2}-\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{15}{2x\sqrt{x}}+\frac{21}{2x^2\sqrt{x}}.$$

б) Используем правило произведения:

$$y=\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)(2\sin 2x+\cos x).$$

Тогда

$$y’=\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)'(2\sin 2x+\cos x)+\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)(2\sin 2x+\cos x)’.$$

Так как

$$\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)’=-\frac{1}{3}x^{-4/3}-2,\qquad (2\sin 2x+\cos x)’=4\cos 2x-\sin x,$$

то

$$y’=\left(-\frac{1}{3}x^{-4/3}-2\right)(2\sin 2x+\cos x)+\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)(4\cos 2x-\sin x).$$

в) Представим функцию в виде суммы степеней:

$$y=\frac{7x^8-5x^4+12x-\sqrt{x}-2}{\sqrt[3]{x}} =7x^{23/3}-5x^{11/3}+12x^{2/3}-x^{1/6}-2x^{-1/3}.$$

Тогда

$$y’= \frac{161}{3}x^{20/3}-\frac{55}{3}x^{8/3}+8x^{-1/3}-\frac{1}{6}x^{-5/6}+\frac{2}{3}x^{-4/3}.$$

Или

$$y’=\frac{161\sqrt[3]{x^{20}}}{3}-\frac{55\sqrt[3]{x^8}}{3}+\frac{8}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}+\frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}}.$$

г) Применим правило произведения:

$$y=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\tg(3x-5).$$

Тогда

$$y’=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)’\tg(3x-5)+\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\bigl(\tg(3x-5)\bigr)’.$$

Так как

$$\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}},\qquad \bigl(\tg(3x-5)\bigr)’=\frac{3}{\cos^2(3x-5)},$$

получаем

$$y’=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}\right)\tg(3x-5)+\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\frac{3}{\cos^2(3x-5)}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } y’=\frac{15\sqrt{x}}{2}-\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{15}{2x\sqrt{x}}+\frac{21}{2x^2\sqrt{x}};\\ &\text{б) } y’=\left(-\frac{1}{3}x^{-4/3}-2\right)(2\sin 2x+\cos x)+\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)(4\cos 2x-\sin x);\\ &\text{в) } y’=\frac{161}{3}x^{20/3}-\frac{55}{3}x^{8/3}+8x^{-1/3}-\frac{1}{6}x^{-5/6}+\frac{2}{3}x^{-4/3};\\ &\text{г) } y’=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}\right)\tg(3x-5)+\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\frac{3}{\cos^2(3x-5)}. \end{aligned}$$