Упр.9.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=\frac{x^3-5}{\sqrt[3]{x}+1}$$; б) $$y=\frac{3\sqrt[3]{x}-7}{x^4+1}$$.

Найдём производные по правилу производной частного:

а)

$$y=\frac{x^3-5}{\sqrt[3]{x}+1}$$

Тогда

$$y’=\frac{(x^3-5)'(\sqrt[3]{x}+1)-(x^3-5)(\sqrt[3]{x}+1)’}{(\sqrt[3]{x}+1)^2}$$

$$y’=\frac{3x^2(\sqrt[3]{x}+1)-(x^3-5)\cdot \frac{1}{3}x^{-2/3}}{(\sqrt[3]{x}+1)^2}$$

Приведём к общему знаменателю в числителе:

$$y’=\frac{9x^{8/3}+9x^2-x^3+5}{3x^{2/3}(\sqrt[3]{x}+1)^2}$$

$$y’=\frac{8x^3+9\sqrt[3]{x^8}+5}{3\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x}+1)^2}$$

б)

$$y=\frac{3\sqrt{x}-7}{x^4+1}$$

Тогда

$$y’=\frac{(3\sqrt{x}-7)'(x^4+1)-(3\sqrt{x}-7)(x^4+1)’}{(x^4+1)^2}$$

$$y’=\frac{3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}(x^4+1)-(3\sqrt{x}-7)\cdot 4x^3}{(x^4+1)^2}$$

$$y’=\frac{3x^4+3-24x^4+56x^3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x^4+1)^2}$$

$$y’=\frac{56x^3\sqrt{x}-21x^4+3}{2\sqrt{x}(x^4+1)^2}$$

Ответ:

$$a)\; y’=\frac{8x^3+9\sqrt[3]{x^8}+5}{3\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x}+1)^2}, \qquad b)\; y’=\frac{56x^3\sqrt{x}-21x^4+3}{2\sqrt{x}(x^4+1)^2}.$$