Упр.9.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Известно, что $$f(x)=x^{1/4}$$, $$g(x)=x-2$$. Докажите, что $$f(16x^8)=2(g(x)-1)$$.
   
   б) Известно, что $$f(x)=x^{2/3}$$, $$g(x)=x-3$$. Докажите, что $$f(27x^9)=9(g(x))-2$$.

Проверим равенства подстановкой заданных функций.

Ход решения

а) Пусть $$f(x)=x^{\frac14}, \quad g(x)=x^{-2}.$$ Тогда

$$f(16x^8)=(16x^8)^{\frac14}=(2^4x^8)^{\frac14}=2x^2.$$

С другой стороны,

$$2(g(x))^{-1}=2(x^{-2})^{-1}=2x^2.$$

Следовательно, $$f(16x^8)=2(g(x))^{-1}.$$

б) Пусть $$f(x)=x^{\frac23}, \quad g(x)=x^{-3}.$$ Тогда

$$f(27x^9)=(27x^9)^{\frac23}=(3^3x^9)^{\frac23}=3^2x^6=9x^6.$$

С другой стороны,

$$9(g(x))^{-2}=9(x^{-3})^{-2}=9x^6.$$

Следовательно, $$f(27x^9)=9(g(x))^{-2}.$$

Ответ

а) $$f(16x^8)=2(g(x))^{-1}$$; б) $$f(27x^9)=9(g(x))^{-2}$$.