Упр.9.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что $$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$$. Найдите: а) $$f(8x^3)$$; б) $$f(x-6)$$; в) $$f\left(\frac{1}{27}x\right)$$; г) $$f(x^{12})$$.

Используем свойство степеней: $$\left(a^m\right)^n=a^{mn}.$$

Ход решения

Дано $$f(x)=x^{-\frac{2}{3}}.$$ Тогда:

а) $$f(8x^3)=(8x^3)^{-\frac{2}{3}}=8^{-\frac{2}{3}}\cdot x^{-2}.$$

Так как $$8=2^3,$$ то

$$8^{-\frac{2}{3}}=(2^3)^{-\frac{2}{3}}=2^{-2}=\frac14.$$

Следовательно,

$$f(8x^3)=\frac{1}{4x^2}.$$

б) $$f(x^{-6})=(x^{-6})^{-\frac{2}{3}}=x^4.$$

в) $$f\!\left(\frac{1}{27}x\right)=\left(\frac{1}{27}x\right)^{-\frac{2}{3}}=\left(27^{-1}x\right)^{-\frac{2}{3}}=27^{\frac{2}{3}}x^{-\frac{2}{3}}.$$

Так как $$27=3^3,$$ то

$$27^{\frac{2}{3}}=(3^3)^{\frac{2}{3}}=3^2=9.$$

Значит,

$$f\!\left(\frac{1}{27}x\right)=\frac{9}{x^{\frac{2}{3}}}=\frac{9}{\sqrt[3]{x^2}}.$$

г) $$f(x^{12})=(x^{12})^{-\frac{2}{3}}=x^{-8}=\frac{1}{x^8}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{4x^2}$$; б) $$x^4$$; в) $$\frac{9}{\sqrt[3]{x^2}}$$; г) $$\frac{1}{x^8}$$.