Упр.9.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите графически неравенство:
   а) $$x^{1/2}<6-x$$;
   б) $$x^{3/2}\geq x-2$$;
   в) $$x^{-1/4}\leq x^3$$;
   г) $$x^{2/3}>x-4$$.

а) Рассмотрим графики функций $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=6-x.$$

Точка их пересечения находится из уравнения

$$\sqrt{x}=6-x.$$

Проверим найденную точку: при $$x=4$$ получаем $$\sqrt{4}=2$$ и $$6-4=2.$$

Так как нужно решить неравенство $$\sqrt{x}<6-x,$$ то берём те значения $$x,$$ при которых график $$y=\sqrt{x}$$ расположен ниже прямой $$y=6-x.$$ С учётом области определения $$x\ge 0$$ получаем

$$x\in[0;4).$$

б) Рассмотрим графики функций $$y=x^{\frac32}$$ и $$y=x^{-2}.$$

Область определения: $$x>0,$$ так как вторая функция не определена при $$x=0.$$

Точка пересечения:

$$x^{\frac32}=x^{-2}.$$

При $$x=1$$ имеем $$1^{\frac32}=1^{-2}=1.$$

Для $$x>1$$ график $$y=x^{\frac32}$$ расположен выше графика $$y=x^{-2},$$ значит

$$x\in[1;+\infty).$$

в) Рассмотрим графики функций $$y=x^{-\frac14}$$ и $$y=x^3.$$

Область определения первой функции: $$x>0.$$

Точка пересечения:

$$x^{-\frac14}=x^3.$$

При $$x=1$$ получаем $$1^{-\frac14}=1^3=1.$$

Для $$x>1$$ выполняется $$x^3>x^{-\frac14},$$ поэтому

$$x\in[1;+\infty).$$

г) Рассмотрим графики функций $$y=x^{\frac23}$$ и $$y=x-4.$$

Точка пересечения находится из уравнения

$$x^{\frac23}=x-4.$$

Проверка даёт $$x=8,$$ так как $$8^{\frac23}=4$$ и $$8-4=4.$$

При $$0\le x<8$$ график $$y=x^{\frac23}$$ расположен выше прямой $$y=x-4,$$ значит

$$x\in[0;8).$$

Ответ

а) $$x\in[0;4)$$; б) $$x\in[1;+\infty)$$; в) $$x\in[1;+\infty)$$; г) $$x\in[0;8).$$