Упр.9.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

9.18. Постройте и прочитайте график функции:
а) $$y=\begin{cases}\frac{1}{x},&x<0,\\x^2-2x,&-1\leq x\leq 2,\\x-\frac{1}{2},&x>0;\end{cases}$$
б) $$y=2(x-2)^{0,75},\quad 2

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=\begin{cases}\dfrac{1}{x},& x<0,\\[4pt]x^{-\frac12},& x>0.\end{cases}$$

Для ветви $$y=\dfrac{1}{x}$$ при $$x<0$$ получаем точки:

$$x=-2,\ y=-\frac12;\qquad x=-1,\ y=-1;\qquad x=-0{,}5,\ y=-2.$$

Для ветви $$y=x^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$ при $$x>0$$ получаем точки:

$$x=0{,}25,\ y=2;\qquad x=1,\ y=1;\qquad x=4,\ y=\frac12.$$

График состоит из двух убывающих ветвей, расположенных в I и III четвертях. При $$x\to 0-$$ и $$x\to 0+$$ значения функции неограниченно возрастают по модулю, поэтому прямая $$x=0$$ — вертикальная асимптота. При $$x\to \pm\infty$$ имеем $$y\to 0$$, значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.

Свойства функции:

$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$
$$E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty);$$
функция ни чётная, ни нечётная;
убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty);$$
не ограничена ни сверху, ни снизу;
наибольшего и наименьшего значений не имеет.

б) Рассмотрим функцию $$y=\begin{cases}x^2-2x,& -1\le x\le 2,\\[4pt]2(x-2)^{0{,}75},& 2<x\le 3.\end{cases}$$

На отрезке $$[-1;2]$$ имеем параболу $$y=x^2-2x=(x-1)^2-1.$$ Её вершина: $$x=1,\ y=-1.$$ Найдём значения в концах отрезка и в вершине:

$$x=-1,\ y=3;\qquad x=0,\ y=0;\qquad x=2,\ y=0;\qquad x=1,\ y=-1.$$

На промежутке $$2<x\le 3$$ имеем функцию $$y=2(x-2)^{0{,}75},$$ которая возрастает. При $$x\to 2+$$ получаем $$y\to 0,$ а при$$x=3$$:

$$y=2\cdot(3-2)^{0{,}75}=2.$$

Значит, график на этом промежутке идёт от точки$$\bigl(2;0\bigr)$$к точке$$\bigl(3;2\bigr)$$, причём точка$$\bigl(2;0\bigr)$$принадлежит графику из первой части.

Свойства функции: