Упр.9.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите графически системы уравнений:
   а) $$\begin{cases} y=x^{5/2},\\ y=1; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} y=x^{-1/3},\\ y=\sqrt{x}; \end{cases}$$
   в) $$\begin{cases} y=x^{1/6},\\ y=|x|; \end{cases}$$
   г) $$\begin{cases} y=x^{-2/3},\\ 2x-y-1=0. \end{cases}$$

а) Построим графики функций $$y=x^{\frac52}$$ и $$y=1$$. Их точка пересечения находится из уравнения

$$x^{\frac52}=1.$$

Так как $$x^{\frac52}$$ определена при $$x\ge 0$$, получаем $$x=1$$, тогда $$y=1$$.

Точка пересечения: $$\left(1;1\right).$$

б) Построим графики функций $$y=x^{-\frac13}$$ и $$y=\sqrt{x}.$$

Точка пересечения находится из уравнения

$$x^{-\frac13}=\sqrt{x}.$$

При $$x>0$$ имеем

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad 1=x^{\frac12+\frac13}=x^{\frac56}.$$

Отсюда $$x=1$$, тогда $$y=1$$.

Точка пересечения: $$\left(1;1\right).$$

в) Построим графики функций $$y=x^{\frac16}$$ и $$y=|x|.$$

Решим уравнение пересечения:

$$x^{\frac16}=|x|.$$

Так как $$x^{\frac16}$$ определена при $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, и получаем

$$x^{\frac16}=x.$$

При $$x=0$$ равенство верно. При $$x>0$$ возведём обе части в шестую степень:

$$x=x^6 \quad \Rightarrow \quad x^6-x=0 \quad \Rightarrow \quad x(x^5-1)=0.$$

Отсюда $$x=1$$. Тогда $$y=1$$.

Точки пересечения: $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;1\right).$$

г) Преобразуем второе уравнение:

$$2x-y-1=0 \quad \Rightarrow \quad y=2x-1.$$

Точка пересечения графиков функций $$y=x^{-\frac23}$$ и $$y=2x-1$$ находится из уравнения

$$x^{-\frac23}=2x-1.$$

Проверим значение $$x=1$$:

$$1^{-\frac23}=1,\qquad 2\cdot 1-1=1.$$

Значит, точка пересечения — $$\left(1;1\right).$$

Ответ

а) $$\left(1;1\right);$$ б) $$\left(1;1\right);$$ в) $$\left(0;0\right),\ \left(1;1\right);$$ г) $$\left(1;1\right).$$