Упр.8.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) Упростите выражение и найдите его значение при $$x=\frac{1}{9}$$:
$$\frac{x^{5/2}-x^{1/2}}{(x+1)(x^2+1)}-\left(x-\frac{x^3}{1+x^2}-\frac{1}{2}x^2\sqrt{1+x^2}^{-1}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}\right).$$
б) Упростите выражение и найдите его значение при $$a=\sqrt{0{,}027},\quad x=\frac{1}{27}$$:
$$\left(\frac{x^{2/3}-a^{4/3}}{x+2x^{2/3}a^{2/3}+a^{4/3}x^{1/3}}+\frac{x^{1/3}-4a^{4/3}}{a^{4/3}-x^{2/3}}-\frac{a^{4/3}-2x}{x-a^{4/3}x^{1/3}}-2\right)\cdot\frac{x^{2/3}-a^{4/3}}{6a^{2/3}-2}.$$

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение:

$$\frac{x^{5/2}-x^{-1/2}}{(x+1)(x^2+1)} -\left(x-\frac{x^3}{1+x^2}\right)^{-1/2}\cdot \frac{x^2\sqrt{(1+x^2)^{-1}}-\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}$$
$$=\frac{x^{-1/2}(x^3-1)}{(x+1)(x^2+1)} -\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x}}\cdot \frac{x^2\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}-\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}$$
$$=\frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} -\frac{1}{\sqrt{x}(x^2+1)}$$
$$=\frac{x^3-1-(x+1)}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} =\frac{x^3+x}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} =\frac{x(x^2+1)}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} =\frac{\sqrt{x}}{x+1}.$$

При $$x=\frac19$$ получаем:

$$\frac{\sqrt{x}}{x+1} =\frac{\sqrt{1/9}}{1/9+1} =\frac{1/3}{10/9} =\frac{3}{10} =0{,}3.$$

б) Упростим выражение:

$$\left( \frac{x^{2/3}-a^{4/3}}{x+2x^{2/3}a^{2/3}+a^{4/3}x^{1/3}} +\frac{x^{1/3}-4a^{4/3}}{a^{4/3}-x^{2/3}} -\frac{a^{4/3}-2x}{x-a^{4/3}x^{1/3}} -2 \right)\cdot \frac{x^{2/3}-a^{4/3}}{6a^{2/3}-2}.$$

После разложения и сокращения получаем:

$$\left( \frac{2a^{2/3}(3a^{2/3}-1)}{x^{1/3}(x^{2/3}-a^{4/3})} \right)\cdot \frac{x^{2/3}-a^{4/3}}{6a^{2/3}-2} = \frac{2a^{2/3}(3a^{2/3}-1)}{x^{1/3}(6a^{2/3}-2)} = a^{2/3}.$$

Теперь подставим $$a=\sqrt{0{,}027}$$ и $$x=\frac1{27}$$:

$$a^{2/3}=\left(\sqrt{0{,}027}\right)^{2/3} =\left((0{,}3)^3\right)^{1/3} =0{,}3.$$