Упр.8.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$(a-b)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}$$; б) $$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$$.
а) $$\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}-\frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a-b}$$
Представим разности в числителях и знаменателях через корни:
$$a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b),$$
$$a^{3/2}-b^{3/2}=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b).$$
Тогда
$$\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}-\frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a-b} = \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a-\sqrt b} — \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}.$$
Сократим и приведём к общему знаменателю:
$$\sqrt a+\sqrt b-\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt a+\sqrt b} = \frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2-(a+\sqrt{ab}+b)}{\sqrt a+\sqrt b}.$$
$$\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a-\sqrt{ab}-b}{\sqrt a+\sqrt b} = \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}.$$
б) $$\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}+\frac{\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\sqrt x(\sqrt x-\sqrt y)}{(\sqrt x+\sqrt y)(\sqrt x-\sqrt y)} + \frac{\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)}{(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)}.$$
Тогда
$$\frac{x-\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+y}{x-y} = \frac{x+y}{x-y}.$$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}$$; б) $$\frac{x+y}{x-y}$$.
