Упр.8.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 8.31. Упростите выражение:
   а) $$(1+c^{1/2})^2-2c^{1/2}$$;
   б) $$(m^{1/4}-m^{1/3})^2+2m^{7/12}$$;
   в) $$(x^{1/2}-y^{1/2})^2+2x^{1/2}y^{1/2}$$;
   г) $$\sqrt{b}+\sqrt{c}-(b^{1/4}+c^{1/4})^2$$.

Используем формулу квадрата разности:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

1. $$\left(1+c^{\frac12}\right)^2-2c^{\frac12} =1+2c^{\frac12}+c-2c^{\frac12} =1+c.$$

2. $$\left(m^{\frac14}-m^{\frac13}\right)^2+2m^{\frac7{12}} =m^{\frac12}-2m^{\frac14+\frac13}+m^{\frac23}+2m^{\frac7{12}}.$$

   Так как $$\frac14+\frac13=\frac7{12},$$ то

   $$m^{\frac12}-2m^{\frac7{12}}+m^{\frac23}+2m^{\frac7{12}} =m^{\frac12}+m^{\frac23}.$$

3. $$\left(x^{\frac12}-y^{\frac12}\right)^2+2x^{\frac12}y^{\frac12} =x-2x^{\frac12}y^{\frac12}+y+2x^{\frac12}y^{\frac12} =x+y.$$

4. $$\sqrt{b}+\sqrt{c}-\left(b^{\frac14}+c^{\frac14}\right)^2 =\sqrt{b}+\sqrt{c}-\left(b^{\frac12}+2b^{\frac14}c^{\frac14}+c^{\frac12}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{b}-2b^{\frac14}c^{\frac14}-\sqrt{c} =-2b^{\frac14}c^{\frac14} =-2\sqrt[4]{bc}.$$

Ответ

а) $$1+c$$; б) $$m^{\frac12}+m^{\frac23}$$; в) $$x+y$$; г) $$-2\sqrt[4]{bc}$$.