Упр.7.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$S=\frac{x^2-2x\sqrt3+3-\sqrt[4]{4}}{x-\sqrt3}, \quad x=\sqrt3-\sqrt[3]{2}.$$

Подставим значение $$x$$:

$$S=\frac{(\sqrt3-\sqrt[3]{2})^2-2\sqrt3(\sqrt3-\sqrt[3]{2})+3-\sqrt[4]{4}}{(\sqrt3-\sqrt[3]{2})-\sqrt3}.$$

Упростим числитель и знаменатель:

$$(\sqrt3-\sqrt[3]{2})^2=3-2\sqrt3\cdot\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4},$$

$$(\sqrt3-\sqrt[3]{2})-\sqrt3=-\sqrt[3]{2}.$$

Тогда

$$S=\frac{3-2\sqrt3\cdot\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}-6+2\sqrt3\cdot\sqrt[3]{2}+3-\sqrt[4]{4}}{-\sqrt[3]{2}} =\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[4]{4}}{-\sqrt[3]{2}}.$$

Так как $$\sqrt[4]{4}=\sqrt2$$ и $$\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^2},$$ получаем

$$S=\sqrt[6]{2}-\sqrt[3]{2}.$$

б) $$S=\frac{1+2x}{1+\sqrt{1+2x}}+\frac{1-2x}{1-\sqrt{1-2x}}, \quad x=\frac{\sqrt3}{4}.$$

Найдём вспомогательные значения:

$$1+2x=1+\frac{\sqrt3}{2}, \qquad 1-2x=1-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\sqrt{1+2x}=\sqrt{1+\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt3+1}{2}, \qquad \sqrt{1-2x}=\sqrt{1-\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt3-1}{2}.$$

Подставим:

$$S=\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{1+\frac{\sqrt3+1}{2}}+\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{1-\frac{\sqrt3-1}{2}} =\frac{2+\sqrt3}{3+\sqrt3}+\frac{2-\sqrt3}{3-\sqrt3}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S=\frac{(2+\sqrt3)(3-\sqrt3)+(2-\sqrt3)(3+\sqrt3)}{(3+\sqrt3)(3-\sqrt3)}.$$

Вычислим:

$$S=\frac{6-2\sqrt3+3\sqrt3-3+6+2\sqrt3-3\sqrt3-3}{9-3} =\frac{6}{6}=1.$$

Ответ: а) $$\sqrt[6]{2}-\sqrt[3]{2}$$; б) $$1$$.