Упр.7.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим левую часть равенства через $$x$$:

$$x=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}.$$

Тогда по формуле $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ получаем:

$$x^3=(5\sqrt2+7)-(5\sqrt2-7)-3\sqrt[3]{(5\sqrt2+7)(5\sqrt2-7)}\cdot x.$$

Так как

$$(5\sqrt2+7)(5\sqrt2-7)=50-49=1,$$

то

$$x^3=14-3x,$$

или

$$x^3+3x-14=0.$$

Проверим $$x=2$$:

$$2^3+3\cdot2-14=8+6-14=0.$$

Значит, $$x=2$$, равенство верно.

б) Обозначим левую часть через $$x$$:

$$x=\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}.$$

Используем формулу $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$:

$$x^3=\left(6+\sqrt{\frac{847}{27}}\right)+\left(6-\sqrt{\frac{847}{27}}\right)+3\sqrt[3]{\left(6+\sqrt{\frac{847}{27}}\right)\left(6-\sqrt{\frac{847}{27}}\right)}\cdot x.$$

Тогда

$$x^3=12+3\sqrt[3]{36-\frac{847}{27}}\cdot x.$$

Вычислим подкоренное выражение:

$$36-\frac{847}{27}=\frac{972-847}{27}=\frac{125}{27}.$$

Следовательно,

$$x^3=12+3\sqrt[3]{\frac{125}{27}}\cdot x=12+3\cdot\frac53\,x=12+5x.$$

Получаем уравнение:

$$x^3-5x-12=0.$$

Проверим $$x=3$$:

$$3^3-5\cdot3-12=27-15-12=0.$$

Значит, $$x=3$$, равенство верно.

Ответ: а) верно; б) верно.