Упр.7.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Проверьте равенство:

1. $$\sqrt[3]{(26+15\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=1$$;
2. $$\frac{2\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt[3]{20+12\sqrt{3}}}{2+\sqrt{3}}$$.

а) Обозначим левую часть равенства через $$x$$. Тогда

$$x^3=(26+15\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^3.$$

Вычислим куб:

$$(2-\sqrt{3})^3=8-12\sqrt{3}+18-3\sqrt{3}=26-15\sqrt{3}.$$

Тогда

$$x^3=(26+15\sqrt{3})(26-15\sqrt{3})=26^2-(15\sqrt{3})^2=676-675=1.$$

Следовательно, $$x=1$$, значит, равенство верно.

б) Преобразуем левую часть:

$$\frac{2\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt[3]{20+12\sqrt{3}}}{2+\sqrt{3}}.$$

Умножим обе части на $$1+\sqrt{3}$$ и $$2+\sqrt{3}$$ соответственно:

$$2\sqrt[3]{2}(2+\sqrt{3})=(1+\sqrt{3})\sqrt[3]{20+12\sqrt{3}}.$$

Возведём обе части в куб:

$$\bigl(2\sqrt[3]{2}(2+\sqrt{3})\bigr)^3=\bigl((1+\sqrt{3})\sqrt[3]{20+12\sqrt{3}}\bigr)^3.$$

Получаем

$$4+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}.$$

Пусть правая часть равна $$x$$. Тогда

$$x^3=(1+\sqrt{3})^3(10+6\sqrt{3}).$$

Так как

$$(1+\sqrt{3})^3=10+6\sqrt{3},$$

то

$$x^3=(10+6\sqrt{3})^2=100+120\sqrt{3}+108=208+120\sqrt{3}.$$

Проверим левую часть:

$$(4+2\sqrt{3})^3=64+96\sqrt{3}+144+24\sqrt{3}=208+120\sqrt{3}.$$

Следовательно, равенство верно.

Ответ: а) верно; б) верно.