Упр.7.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$t=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$x=t^3$$ и $$\sqrt[3]{x^2}=t^2.$$

Получаем уравнение

$$\frac{t^3-1}{t^2-1}-\frac{t^2-1}{t+1}=4.$$

Разложим на множители:

$$t^3-1=(t-1)(t^2+t+1), \qquad t^2-1=(t-1)(t+1).$$

Тогда при $$t\neq \pm 1$$

$$\frac{(t-1)(t^2+t+1)}{(t-1)(t+1)}-\frac{(t-1)(t+1)}{t+1}=4,$$

$$\frac{t^2+t+1}{t+1}-(t-1)=4.$$

Умножим на $$t+1$$:

$$t^2+t+1-(t-1)(t+1)=4(t+1).$$

$$t^2+t+1-(t^2-1)=4t+4,$$

$$t+2=4t+4,$$

$$3t+2=0,$$

$$t=-\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$x=t^3=\left(-\frac{2}{3}\right)^3=-\frac{8}{27}.$$

Проверка ОДЗ: $$t\neq \pm 1,$$ значит найденное значение подходит.

Ответ: $$-\frac{8}{27}.$$

б) Обозначим $$t=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$x=t^3$$ и $$\sqrt[3]{x^2}=t^2.$$

Имеем

$$\frac{t^3+8}{t+2}+\frac{t^2-25}{t+5}=5.$$

Разложим числители:

$$t^3+8=(t+2)(t^2-2t+4),$$

$$t^2-25=(t-5)(t+5).$$

Тогда при $$t\neq -2,\,-5$$

$$t^2-2t+4+t-5=5,$$

$$t^2-t-6=0,$$

$$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0.$$

Отсюда $$t=3$$ или $$t=-2.$$

Значение $$t=-2$$ не подходит, так как обращает в нуль знаменатель $$t+2.$$

Значит, $$t=3,$$ и тогда

$$x=t^3=3^3=27.$$

Ответ: $$27.$$