Упр.7.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{\sqrt[4]{ab}-\sqrt{ab}}{1-\sqrt{ab}}+\frac{1-\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{ab}}\right):\frac{\sqrt[4]{ab}}{1+\sqrt[4]{a^3b^3}}-\frac{1-\sqrt[4]{ab}-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$$

$$\frac{\sqrt[4]{ab}(1-\sqrt[4]{ab})}{(1-\sqrt[4]{ab})(1+\sqrt[4]{ab})}+\frac{1-\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{ab}} = \frac{\sqrt[4]{ab}+(1-\sqrt[4]{ab})}{\sqrt[4]{ab}(1+\sqrt[4]{ab})} = \frac{1}{\sqrt[4]{ab}(1+\sqrt[4]{ab})}$$

Тогда

$$\frac{1}{\sqrt[4]{ab}(1+\sqrt[4]{ab})}:\frac{\sqrt[4]{ab}}{1+\sqrt[4]{a^3b^3}} = \frac{1+\sqrt[4]{a^3b^3}}{\sqrt{ab}(1+\sqrt[4]{ab})}$$

Так как $$\sqrt[4]{a^3b^3}=\sqrt{ab}\,\sqrt[4]{ab},$$ то

$$\frac{1+\sqrt{ab}\,\sqrt[4]{ab}}{\sqrt{ab}(1+\sqrt[4]{ab})} = \frac{1}{\sqrt{ab}}$$

Следовательно, всё выражение равно

$$\frac{1}{\sqrt{ab}}-\frac{1-\sqrt[4]{ab}-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt[4]{ab}+\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}} = 2.$$

Ответ: $$2$$.

б) Упростим выражение:

$$a\sqrt[3]{a\sqrt{3ab}-2a\sqrt{ab}}\cdot \sqrt[6]{a^3b(7+4\sqrt3)}$$

Вынесем множители под корнями:

$$a\sqrt[3]{a\sqrt{ab}(\sqrt3-2)}\cdot \sqrt[6]{a^3b(7+4\sqrt3)}$$

$$= a\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[6]{ab}\cdot \sqrt[3]{\sqrt3-2}\cdot \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[6]{b}\cdot \sqrt[6]{7+4\sqrt3}$$

Соберём одинаковые множители:

$$= a\cdot \sqrt[6]{a^2}\cdot \sqrt[6]{a^2b^2}\cdot \sqrt[3]{\sqrt3-2}\cdot \sqrt[6]{(\sqrt3+2)^2}$$

$$= a^2\sqrt[3]{b}\cdot \sqrt[3]{(\sqrt3-2)(\sqrt3+2)}$$

Так как

$$(\sqrt3-2)(\sqrt3+2)=3-4=-1,$$

то

$$a^2\sqrt[3]{b}\cdot \sqrt[3]{-1}=-a^2\sqrt[3]{b}.$$

Ответ: $$-a^2\sqrt[3]{b}$$.