Упр.7.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:

   а) $$\frac{\sqrt{ab}\cdot\sqrt[4]{a}}{a+b}\cdot\sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$;

   б) $$\frac{\left(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n}\right)^2+\left(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}\right)^2}{2(m-n)}:\frac{1}{\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}}-3\sqrt{mn}$$.

а) Преобразуем выражение:

$$\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}}-\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}$$

$$= \frac{\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\sqrt{b}}-\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a\sqrt{a}}{a+b}-\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a(a-b)-(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-ab-a^2-b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{-b(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{b}{b-a}$$

Ответ: $$\frac{b}{b-a}$$

б) Упростим выражение:

$$\frac{(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})^2+(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})^2}{2(m-n)}:\frac{1}{\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}}-3\sqrt{mn}$$

Сначала раскроем скобки в числителе:

$$(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})^2+(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})^2 =2\sqrt{m}+2\sqrt{n}$$

Тогда

$$\frac{2\sqrt{m}+2\sqrt{n}}{2(m-n)}:\frac{1}{\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}}-3\sqrt{mn} = \frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}\cdot (\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3})-3\sqrt{mn}$$

Разложим разность кубов:

$$\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}=m\sqrt{m}-n\sqrt{n} =(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)$$

А также

$$m-n=(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})$$

Сокращаем:

$$\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}\cdot (\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)-3\sqrt{mn}$$

$$=m+\sqrt{mn}+n-3\sqrt{mn} =m-2\sqrt{mn}+n =(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2$$

Ответ: $$\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)^2$$