Упр.7.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt[4]{17+\sqrt{288}}=\sqrt[4]{17+12\sqrt2}.$$

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:

$$17+12\sqrt2=9+8+12\sqrt2=(3+2\sqrt2)^2.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{17+\sqrt{288}}=\sqrt[4]{(3+2\sqrt2)^2}=\sqrt{3+2\sqrt2}.$$

Заметим, что

$$3+2\sqrt2=(\sqrt2+1)^2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{3+2\sqrt2}=\sqrt{(\sqrt2+1)^2}=\sqrt2+1.$$

б) $$\sqrt[4]{28-16\sqrt3}.$$

Представим подкоренное выражение в виде квадрата:

$$28-16\sqrt3=16-16\sqrt3+12=(4-2\sqrt3)^2.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{28-16\sqrt3}=\sqrt[4]{(4-2\sqrt3)^2}=\sqrt{4-2\sqrt3}.$$

Заметим, что

$$4-2\sqrt3=3+1-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt{(\sqrt3-1)^2}=\sqrt3-1.$$

Ответ

а) $$\sqrt2+1$$; б) $$\sqrt3-1$$.