Упр.7.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Найдите значение выражения:
а) $$\frac{4-3\sqrt{2}}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2}$$;
б) $$\frac{\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}$$;
в) $$\frac{\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt{3}+3\sqrt[6]{6}}$$;
г) $$\frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt{5}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt[4]{45}\right)^2}$$.

Подробный ответ

а) $$\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2}=\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt2\right)^2}.$$

Так как $$\sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{2^3}=\sqrt2\cdot\sqrt[4]{2},$$ то

$$\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2=\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt2\cdot\sqrt[4]{2}\right)^2=\left(\sqrt[4]{2}(1-\sqrt2)\right)^2.$$

После упрощения получаем

$$\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2}=-1.$$

б) $$\frac{\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}.$$

Преобразуем числитель:

$$\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2=\left(\sqrt[6]{3^2}+\sqrt3\right)^2=\left(\sqrt3\cdot\sqrt[6]{3}+ \sqrt3\right)^2=\left(\sqrt3(\sqrt[6]{3}+1)\right)^2.$$

Тогда

$$\frac{\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}=3.$$

в) $$\frac{\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt3+3\sqrt6}.$$

Вынесем общий множитель в числителе:

$$\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2=\left(\sqrt[4]{6}\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{6}\right)^2=\left(\sqrt[4]{6}(\sqrt2+1)\right)^2.$$

После преобразований получаем

$$\frac{\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt3+3\sqrt6}=1.$$

г) $$\frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5}{\left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2}.$$

Заметим, что

$$1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5=(1-\sqrt[4]{5})^2,$$

а также

$$\sqrt[4]{45}=\sqrt3\cdot\sqrt[4]{5},$$