Упр.7.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a_1}+\sqrt{b_1}+\sqrt{c_1}}$$, если известно, что $$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}$$.

Подробный ответ

Пусть $$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=\frac{1}{k^2}.$$ Тогда

$$a_1=k^2a,\quad b_1=k^2b,\quad c_1=k^2c,$$

откуда

$$\sqrt{a_1}=k\sqrt{a},\quad \sqrt{b_1}=k\sqrt{b},\quad \sqrt{c_1}=k\sqrt{c}.$$

Преобразуем знаменатель дроби:

$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a_1}+\sqrt{b_1}+\sqrt{c_1}} = \frac{1}{(k+1)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}.$$

Домножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$$:

$$\frac{1}{(k+1)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(k+1)\bigl((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-c\bigr)} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(k+1)(a+b-c+2\sqrt{ab})}.$$

Теперь умножим числитель и знаменатель на $$a+b-c-2\sqrt{ab}$$:

$$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(k+1)(a+b-c+2\sqrt{ab})} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})}{(k+1)\bigl((a+b-c)^2-4ab\bigr)}.$$

Так как $$k=\sqrt{\frac{a_1}{a}}=\frac{\sqrt{a_1}}{\sqrt{a}},$$ то

$$k+1=\frac{\sqrt{a_1}+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}.$$

Подставляя это, получаем

$$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})}{(k+1)\bigl((a+b-c)^2-4ab\bigr)} = \frac{\sqrt{a}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})(\sqrt{a_1}-\sqrt{a})}{(a_1-a)\bigl(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc\bigr)}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a_1}+\sqrt{b_1}+\sqrt{c_1}} = \frac{\sqrt{a}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})(\sqrt{a_1}-\sqrt{a})}{(a_1-a)\bigl(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc\bigr)}.$$