Упр.7.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 7-42. Вычислите:
   а) $$\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}+\frac{5}{\sqrt{12}+\sqrt{7}}$$;
   б) $$\frac{2}{\sqrt{3}+1}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\ldots+\frac{2}{\sqrt{23}+\sqrt{21}}+\frac{2}{\sqrt{25}+\sqrt{23}}$$.

а) Упростим выражение, освободившись от иррациональности в знаменателях:

$$\left(\frac{4}{\sqrt7-\sqrt3}+\frac{5}{\sqrt{12}+\sqrt7}\right)^2 = \left(\frac{4(\sqrt7+\sqrt3)}{7-3}+\frac{5(\sqrt{12}-\sqrt7)}{12-7}\right)^2$$

$$= \left((\sqrt7+\sqrt3)+(\sqrt{12}-\sqrt7)\right)^2 = (\sqrt3+\sqrt{12})^2$$

Так как $$\sqrt{12}=2\sqrt3,$$ получаем

$$(\sqrt3+2\sqrt3)^2=(3\sqrt3)^2=9\cdot 3=27.$$

б) Аналогично:

$$\frac{2}{\sqrt3+1}+\frac{2}{\sqrt5+\sqrt3}+\frac{2}{\sqrt7+\sqrt5}+\cdots+\frac{2}{\sqrt{25}+\sqrt{23}}$$

$$= \frac{2(\sqrt3-1)}{3-1}+\frac{2(\sqrt5-\sqrt3)}{5-3}+\frac{2(\sqrt7-\sqrt5)}{7-5}+\cdots+\frac{2(\sqrt{25}-\sqrt{23})}{25-23}$$

$$=(\sqrt3-1)+(\sqrt5-\sqrt3)+(\sqrt7-\sqrt5)+\cdots+(\sqrt{25}-\sqrt{23}).$$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, поэтому

$$-1+\sqrt{25}=-1+5=4.$$

Ответ

а) $$27$$; б) $$4$$.