Упр.7.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
   а) $$\frac{1}{\sqrt[4]{3}+\sqrt[3]{4}}$$;
   б) $$\frac{2}{\sqrt[12]{5}+\sqrt[12]{3}}$$;
   в) $$\frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[4]{2}}$$;
   г) $$\frac{1}{\sqrt[12]{4}-\sqrt[12]{2}}$$.

а) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$\frac{1}{\sqrt[4]{3}+\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{4}}{(\sqrt[4]{3})^2-(\sqrt[3]{4})^2} = \frac{\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{4}}{\sqrt{3}-\sqrt[3]{16}}.$$

Далее умножим на сопряжённое к знаменателю:

$$\frac{\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{4}}{\sqrt{3}-\sqrt[3]{16}} = \frac{(\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{4})(\sqrt{3}+\sqrt[3]{16})}{3-4\sqrt[3]{4}}.$$

После преобразования получаем:

$$\frac{(\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{4})(\sqrt{3}+\sqrt[3]{16})(9+12\sqrt[3]{4}+16\sqrt[3]{16})}{27-64\cdot 4} = \frac{(\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{4})(\sqrt{3}+\sqrt[3]{16})(9+12\sqrt[3]{4}+32\sqrt[3]{2})}{229}.$$

б) Аналогично:

$$\frac{2}{\sqrt[12]{5}+\sqrt[12]{3}} = \frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})}{\sqrt[6]{5}-\sqrt[6]{3}}.$$

Умножим на сопряжённое выражение:

$$\frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})}{\sqrt[6]{5}-\sqrt[6]{3}} = \frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})}{5-3}.$$

Далее:

$$= (\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}).$$

в)

$$\frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[4]{2}} = \frac{\sqrt[3]{5}-\sqrt[4]{2}}{\sqrt[3]{25}-\sqrt{2}}.$$

Умножим на сопряжённое к знаменателю:

$$\frac{\sqrt[3]{5}-\sqrt[4]{2}}{\sqrt[3]{25}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt[3]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}+\sqrt[3]{25})}{\sqrt[3]{625}-2}.$$

Тогда

$$= \frac{(\sqrt[3]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}+\sqrt[3]{25})(25\sqrt[3]{25}+10\sqrt[3]{5}+4)}{625-8} = \frac{(\sqrt[3]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}+\sqrt[3]{25})(25\sqrt[3]{25}+10\sqrt[3]{5}+4)}{617}.$$

г)

$$\frac{1}{\sqrt[12]{4}-\sqrt[12]{2}} = \frac{\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2}}{\sqrt[6]{4}-\sqrt[6]{2}}.$$

Умножим на сопряжённое:

$$\frac{\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2}}{\sqrt[6]{4}-\sqrt[6]{2}} = \frac{(\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2})}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}}.$$

Далее:

$$= \frac{(\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2})(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4})}{4-2} = \frac{(\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2})(2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4})}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{(\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{4})(\sqrt{3}+\sqrt[3]{16})(9+12\sqrt[3]{4}+32\sqrt[3]{2})}{229}$$;
б) $$(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9})$$;
в) $$\frac{(\sqrt[3]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}+\sqrt[3]{25})(25\sqrt[3]{25}+10\sqrt[3]{5}+4)}{617}$$;
г) $$\frac{(\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2})(2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4})}{2}$$.