Упр.7.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 7-39: а) $$\frac{2}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}}$$; б) $$\frac{9}{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4}}$$; в) $$\frac{-10}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{49}}$$; г) $$\frac{5}{\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{16}}$$.

Освободимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби.

1. $$\frac{2}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}}=\frac{2}{\sqrt[3]{5^2}-\sqrt[3]{5\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2}}.$$
   Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3}$$:
   $$\frac{2}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}} = \frac{2(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9})}.$$
   В знаменателе получаем:
   $$(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9})=5+3=8.$$
   Тогда
   $$\frac{2(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3})}{8}=\frac{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3}}{4}.$$

2. $$\frac{9}{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4}} = \frac{9}{\sqrt[3]{4^2}+\sqrt[3]{4\cdot 2}+\sqrt[3]{2^2}}.$$
   Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}$$:
   $$\frac{9}{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4}} = \frac{9(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})}{(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4})}.$$
   В знаменателе:
   $$(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4})=4-2=2.$$
   Значит,
   $$\frac{9(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})}{2}.$$

3. $$\frac{-10}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{49}} = \frac{-10}{\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2\cdot 7}+\sqrt[3]{7^2}}.$$
   Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{7}$$:
   $$\frac{-10}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{49}} = \frac{-10(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{7})}{(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{7})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{49})}.$$
   В знаменателе:
   $$(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{7})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{49})=2-7=-5.$$
   Тогда
   $$\frac{-10(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{7})}{-5}=2(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{7}).$$

4. $$\frac{5}{\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{16}} = \frac{5}{\sqrt[3]{6^2}-\sqrt[3]{6\cdot 4}+\sqrt[3]{4^2}}.$$
   Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}$$:
   $$\frac{5}{\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{16}} = \frac{5(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{16})}.$$
   В знаменателе:
   $$(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{16})=6+4=10.$$
   Следовательно,
   $$\frac{5(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{10}=\frac{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3}}{4}$$; б) $$\frac{9(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})}{2}$$; в) $$2(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{7})$$; г) $$\frac{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{2}$$.