Упр.7.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $$\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$$:

$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-c} = \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a+b-c+2\sqrt{ab}}.$$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим ещё на сопряжённое выражение $$a+b-c-2\sqrt{ab}$$:

$$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a+b-c+2\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})}{(a+b-c)^2-4ab}.$$

б) Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2-3} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2+5-3+2\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4+2\sqrt{10}}.$$

Теперь умножим числитель и знаменатель на $$2-\sqrt{10}$$:

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4+2\sqrt{10}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(2-\sqrt{10})}{2(4-10)} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{10}-2)}{12}.$$

Ответ

а) $$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})}{(a+b-c)^2-4ab}$$;

б) $$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{10}-2)}{12}$$.