Упр.7.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$\frac{10}{\sqrt[3]{12}-\sqrt[3]{7}}$$
2. $$\frac{11}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{6}}$$
3. $$\frac{4}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}$$
4. $$\frac{3}{\sqrt[3]{15}-\sqrt[3]{6}}$$

Используем формулу рационализации:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b},\qquad \frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b}.$$

1. $$\frac{10}{\sqrt[3]{12}-\sqrt[3]{7}}=\frac{10\left(\sqrt[3]{12^2}+\sqrt[3]{12\cdot 7}+\sqrt[3]{7^2}\right)}{12-7}$$

   $$=\frac{10\left(\sqrt[3]{144}+\sqrt[3]{84}+\sqrt[3]{49}\right)}{5}=2\left(\sqrt[3]{144}+\sqrt[3]{84}+\sqrt[3]{49}\right).$$

2. $$\frac{11}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{6}}=\frac{11\left(\sqrt[3]{5^2}-\sqrt[3]{5\cdot 6}+\sqrt[3]{6^2}\right)}{5+6}$$

   $$=\frac{11\left(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{36}\right)}{11}=\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{36}.$$

3. $$\frac{4}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}=\frac{4\left(\sqrt[3]{3^2}-\sqrt[3]{3\cdot 9}+\sqrt[3]{9^2}\right)}{3+9}$$

   $$=\frac{4\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{81}\right)}{12}=\frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{9}-3+\sqrt[3]{81}\right).$$

4. $$\frac{3}{\sqrt[3]{15}-\sqrt[3]{6}}=\frac{3\left(\sqrt[3]{15^2}+\sqrt[3]{15\cdot 6}+\sqrt[3]{6^2}\right)}{15-6}$$

   $$=\frac{3\left(\sqrt[3]{225}+\sqrt[3]{90}+\sqrt[3]{36}\right)}{9}=\frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{225}+\sqrt[3]{90}+\sqrt[3]{36}\right).$$

Ответ:

а) $$2\left(\sqrt[3]{144}+\sqrt[3]{84}+\sqrt[3]{49}\right);$$ б) $$\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{36};$$ в) $$\frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{9}-3+\sqrt[3]{81}\right);$$ г) $$\frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{225}+\sqrt[3]{90}+\sqrt[3]{36}\right).$$