Упр.7.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Приведём все числа к одному показателю корня:

$$\sqrt{3\sqrt[3]{4}}=\sqrt[6]{(3\sqrt[3]{4})^3}=\sqrt[6]{27\cdot 4}=\sqrt[6]{108},$$

$$\sqrt[3]{5\sqrt{3}}=\sqrt[6]{(5\sqrt{3})^2}=\sqrt[6]{25\cdot 3}=\sqrt[6]{75},$$

$$\sqrt[6]{100}=\sqrt[6]{100}.$$

Так как $$75<100<108,$$ то

$$\sqrt[3]{5\sqrt{3}}<\sqrt[6]{100}<\sqrt{3\sqrt[3]{4}}.$$

б) Аналогично:

$$\sqrt[5]{4}=\sqrt[30]{4^6}=\sqrt[30]{4096},$$

$$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}=\sqrt[30]{(3\sqrt[5]{3})^5}=\sqrt[30]{3^5\cdot 3}=\sqrt[30]{3^6},$$

$$\sqrt[10]{25}=\sqrt[30]{25^3}=\sqrt[30]{5^6}.$$

Сравним подкоренные выражения: $$3^6<5^6<4096,$$ значит

$$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}<\sqrt[10]{25}<\sqrt[5]{4}.$$

в) Приведём к общему показателю:

$$\sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}}=\sqrt[15]{(3\sqrt[3]{5})^3}=\sqrt[15]{27\cdot 5}=\sqrt[15]{135},$$

$$\sqrt[3]{3}=\sqrt[15]{3^5}=\sqrt[15]{243},$$

$$\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}}=\sqrt[15]{(2\sqrt[5]{3})^5}=\sqrt[15]{32\cdot 3}=\sqrt[15]{96}.$$

Так как $$96<135<243,$$ то

$$\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}}<\sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}}<\sqrt[3]{3}.$$

г) Сравним числа:

$$\sqrt[16]{64}=\sqrt[32]{64^2}=\sqrt[32]{4096},$$

$$\sqrt[48]{7\sqrt{7}}=\sqrt[48]{7^{3/2}}=\sqrt[32]{7},$$

$$\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}=\sqrt[4]{2\sqrt{\frac54}}=\sqrt[8]{5}.$$

Удобнее записать все через степень с одинаковым показателем: тогда получаем порядок

$$\sqrt[48]{7\sqrt{7}}<\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}<\sqrt[16]{64}.$$

Ответ

а) $$\sqrt[3]{5\sqrt{3}},\ \sqrt[6]{100},\ \sqrt{3\sqrt[3]{4}}$$

б) $$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}},\ \sqrt[10]{25},\ \sqrt[5]{4}$$

в) $$\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}},\ \sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}},\ \sqrt[3]{3}$$

г) $$\sqrt[48]{7\sqrt{7}},\ \sqrt[4]{2\sqrt{1,25}},\ \sqrt[16]{64}$$