Упр.7.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения:
   а) $$\frac{6\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-1}{2\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}}$$;
   б) $$\frac{3\sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}-2}{9\sqrt{x}-1}$$.

Положим:

$$t=\sqrt[3]{x}$$

Тогда $$\sqrt[3]{x^2}=t^2$$, и дробь в пункте а принимает вид

$$\frac{6t^2+t-1}{2t^2+t}.$$

Разложим числитель на множители:

$$6t^2+t-1=(3t-1)(2t+1).$$

Знаменатель тоже разложим:

$$2t^2+t=t(2t+1).$$

Тогда

$$\frac{6t^2+t-1}{2t^2+t}=\frac{(3t-1)(2t+1)}{t(2t+1)}=\frac{3t-1}{t}.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

$$\frac{3\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}.$$

Для пункта б положим:

$$t=\sqrt[4]{x}.$$

Тогда $$\sqrt{x}=t^2$$, и дробь имеет вид

$$\frac{3t^2-5t-2}{9t^2-1}.$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$3t^2-5t-2=(3t+1)(t-2),$$

$$9t^2-1=(3t-1)(3t+1).$$

Сокращаем общий множитель $$3t+1$$:

$$\frac{3t^2-5t-2}{9t^2-1}=\frac{(3t+1)(t-2)}{(3t-1)(3t+1)}=\frac{t-2}{3t-1}.$$

Возвращаясь к $$x$$, получаем

$$\frac{\sqrt[4]{x}-2}{3\sqrt[4]{x}-1}.$$

Ответ

а) $$\frac{3\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}$$; б) $$\frac{\sqrt[4]{x}-2}{3\sqrt[4]{x}-1}$$.