Упр.7.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$\frac{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}$$
2. $$\frac{\sqrt[3]{m}+2\sqrt[3]{n}}{4\sqrt[3]{n^2}+4\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{m^2}}$$
3. $$\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+2\sqrt[4]{ab^2}+b}$$
4. $$\frac{\sqrt{b}+2a\sqrt[4]{a^2b}+a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}$$

Сократим дроби, используя формулы квадрата суммы и разности.

1. $$\frac{\sqrt a-2\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}$$

   Числитель представим как квадрат разности:

   $$\sqrt a-2\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}=\left(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2.$$

   Тогда

   $$\frac{\left(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}.$$

2. $$\frac{\sqrt[3]{m}+2\sqrt[3]{n}}{4\sqrt[3]{n^2}+4\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{m^2}}$$

   Знаменатель — квадрат суммы:

   $$4\sqrt[3]{n^2}+4\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{m^2}=\left(2\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{m}\right)^2.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\sqrt[3]{m}+2\sqrt[3]{n}}{\left(2\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{m}\right)^2}=\frac{1}{\sqrt[3]{m}+2\sqrt[3]{n}}.$$

3. $$\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt b}{\sqrt a+2\sqrt[4]{ab^2}+b}$$

   Знаменатель представим в виде квадрата суммы:

   $$\sqrt a+2\sqrt[4]{ab^2}+b=\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt b\right)^2.$$

   Тогда

   $$\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt b}{\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt b\right)^2}=\frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt b}.$$

4. $$\frac{\sqrt b+2a\sqrt[4]{a^2b}+a^3}{a\sqrt a+\sqrt[4]{b}}$$

   Числитель — квадрат суммы:

   $$\sqrt b+2a\sqrt[4]{a^2b}+a^3=\left(\sqrt[4]{b}+a\sqrt a\right)^2.$$

   Тогда

   $$\frac{\left(\sqrt[4]{b}+a\sqrt a\right)^2}{a\sqrt a+\sqrt[4]{b}}=a\sqrt a+\sqrt[4]{b}.$$

Ответ: а) $$\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}$$; б) $$\frac{1}{\sqrt[3]{m}+2\sqrt[3]{n}}$$; в) $$\frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt b}$$; г) $$a\sqrt a+\sqrt[4]{b}$$.