Упр.7.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 7.22. Выполните действия:
   а) $$\left(\sqrt[3]{m}-2\sqrt[3]{n}\right)\left(\sqrt[3]{m}+2\sqrt[3]{n}\right)$$;
   б) $$\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt[3]{5}\right)$$;
   в) $$(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})$$;
   г) $$\left(\sqrt[3]{4}+2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt[3]{4}\right)$$.

Используем формулу разности квадратов:

$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2.$$

1. $$\left(\sqrt[3]{m}-2\sqrt[3]{n}\right)\left(\sqrt[3]{m}+2\sqrt[3]{n}\right)=\left(\sqrt[3]{m}\right)^2-\left(2\sqrt[3]{n}\right)^2.$$

   $$\left(\sqrt[3]{m}\right)^2=\sqrt[3]{m^2}, \qquad \left(2\sqrt[3]{n}\right)^2=4\sqrt[3]{n^2}.$$

   Значит,

   $$\left(\sqrt[3]{m}-2\sqrt[3]{n}\right)\left(\sqrt[3]{m}+2\sqrt[3]{n}\right)=\sqrt[3]{m^2}-4\sqrt[3]{n^2}.$$

2. $$\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt[3]{5}\right)=\left(\sqrt[3]{5}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2.$$

   $$\left(\sqrt[3]{5}\right)^2=\sqrt[3]{25}, \qquad \left(\sqrt{3}\right)^2=3.$$

   Следовательно,

   $$\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt[3]{5}\right)=\sqrt[3]{25}-3.$$

3. $$\left(a-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{b}\right)=a^2-\left(\sqrt{b}\right)^2=a^2-b.$$

4. $$\left(\sqrt[3]{4}+2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt[3]{4}\right)=\left(2\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt[3]{4}\right)^2.$$

   $$\left(2\sqrt{2}\right)^2=8, \qquad \left(\sqrt[3]{4}\right)^2=\sqrt[3]{16}.$$

   Итак,

   $$\left(\sqrt[3]{4}+2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt[3]{4}\right)=8-\sqrt[3]{16}.$$

Ответ: а) $$\sqrt[3]{m^2}-4\sqrt[3]{n^2}$$; б) $$\sqrt[3]{25}-3$$; в) $$a^2-b$$; г) $$8-\sqrt[3]{16}$$.