Упр.7.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}}\cdot \sqrt[27]{a^{14}}$$

Преобразуем первую часть:

$$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}}=\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{a}}}=\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{a\cdot a^{1/3}}}=\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{a^{4/3}}}=\sqrt[3]{a\cdot a^{4/9}}=\sqrt[3]{a^{13/9}}=a^{13/27}.$$

Тогда

$$a^{13/27}\cdot a^{14/27}=a^{27/27}=a.$$

Ответ: $$a$$.

б) $$\sqrt{\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y}{x}\sqrt[3]{\frac{x}{y}}}}\cdot \sqrt[3]{\frac{y}{x}}$$

Запишем через степени:

$$\left(\frac{x}{y}\cdot \left(\frac{y}{x}\cdot \left(\frac{x}{y}\right)^{1/3}\right)^{1/2}\right)^{1/2}\cdot \left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}.$$

Соберём показатели степеней:

$$\left(\frac{x}{y}\right)^{1/2}\cdot \left(\frac{y}{x}\right)^{1/4}\cdot \left(\frac{x}{y}\right)^{1/12}\cdot \left(\frac{y}{x}\right)^{1/3} = \left(\frac{x}{y}\right)^{1/2-1/4+1/12-1/3} = \left(\frac{x}{y}\right)^0=1.$$

Ответ: $$1$$.

в) $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}:\sqrt[16]{x^{11}}$$

Первая часть:

$$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}=x^{1/2+1/4+1/8+1/16}=x^{15/16}.$$

Тогда

$$\frac{x^{15/16}}{x^{11/16}}=x^{4/16}=x^{1/4}=\sqrt[4]{x}.$$

Ответ: $$\sqrt[4]{x}$$.

г) $$\sqrt{2m\sqrt[3]{\frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}}:\sqrt[12]{nm}$$

Перепишем через степени:

$$\left(2m\cdot \left(\frac{1}{4m^2}\cdot \left(\frac{n}{m}\right)^{1/2}\right)^{1/3}\right)^{1/2}:(nm)^{1/12}.$$

После упрощения получаем:

$$\frac{\sqrt[12]{4mn}}{\sqrt[12]{nm}}=\sqrt[12]{4}=\sqrt[6]{2}.$$

Ответ: $$\sqrt[6]{2}$$.