Упр.7.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 7.17. Преобразуйте заданное выражение к виду $$\sqrt[n]{A}$$:
   а) $$\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}$$;
   б) $$\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}}$$;
   в) $$\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}}$$;
   г) $$\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}}$$.

а) $$\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}=\sqrt[5]{2\cdot \sqrt[3]{2\cdot 2^{1/2}}}=\sqrt[5]{2\cdot 2^{1/3}\cdot 2^{1/6}}=\sqrt[5]{2^{1+1/3+1/6}}=\sqrt[5]{2^{3/2}}=\sqrt[10]{2^3}=\sqrt[10]{8}.$$

б) $$\sqrt[4]{\frac43\sqrt[3]{\frac34\sqrt{\frac43}}}=\sqrt[4]{\frac43\cdot \sqrt[3]{\frac34\cdot \left(\frac43\right)^{1/2}}}=\sqrt[4]{\frac43\cdot \left(\frac34\right)^{1/3}\cdot \left(\frac43\right)^{1/6}}$$

$$=\sqrt[4]{\left(\frac43\right)^{1+1/6}\left(\frac34\right)^{1/3}}=\sqrt[4]{\left(\frac43\right)^{7/6}\left(\frac34\right)^{1/3}}=\sqrt[24]{\left(\frac43\right)^7\left(\frac34\right)^2}=\sqrt[24]{\frac{1024}{243}}.$$

в) $$\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}}=\sqrt{3\cdot \sqrt[4]{3\cdot 3^{1/3}}}=\sqrt{3\cdot 3^{4/12}}=\sqrt{3\cdot 3^{1/3}}=\sqrt{3^{4/3}}=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}.$$

г) $$\sqrt[3]{\frac23\sqrt[3]{\frac32\sqrt{\frac23}}}=\sqrt[3]{\frac23\cdot \sqrt[3]{\frac32\cdot \left(\frac23\right)^{1/2}}}=\sqrt[3]{\frac23\cdot \left(\frac32\right)^{1/3}\cdot \left(\frac23\right)^{1/6}}$$

$$=\sqrt[3]{\left(\frac23\right)^{1+1/6}\left(\frac32\right)^{1/3}}=\sqrt[3]{\left(\frac23\right)^{7/6}\left(\frac32\right)^{1/3}}=\sqrt[18]{\left(\frac23\right)^7\left(\frac32\right)^2}=\sqrt[18]{\frac{32}{243}}.$$

Ответ: а) $$\sqrt[10]{8}$$; б) $$\sqrt[24]{\frac{1024}{243}}$$; в) $$\sqrt[3]{9}$$; г) $$\sqrt[18]{\frac{32}{243}}$$.