Упр.6.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{x}=0$$; б) $$\sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}+6=0$$; в) $$\sqrt[6]{x}+2\sqrt[3]{x}-1=0$$; г) $$\sqrt[4]{x}+2\sqrt[8]{x}-3=0$$.

а) $$\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{x}=0.$$

Положим $$t=\sqrt[6]{x},$$ тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2.$$ Получаем:

$$t^2-2t=0$$

$$t(t-2)=0.$$

Отсюда:

$$t=0 \quad \text{или} \quad t=2.$$

1) $$\sqrt[6]{x}=0 \Rightarrow x=0;$$

2) $$\sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=64.$$

Ответ: $$0; 64.$$

б) $$\sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}+6=0.$$

Положим $$t=\sqrt[4]{x},$$ тогда $$\sqrt{x}=t^2.$$ Получаем:

$$t^2-5t+6=0$$

$$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0.$$

Отсюда:

$$t=2 \quad \text{или} \quad t=3.$$

1) $$\sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=16;$$

2) $$\sqrt[4]{x}=3 \Rightarrow x=81.$$

Ответ: $$16; 81.$$

в) $$\sqrt[6]{x}+2\sqrt[3]{x}-1=0.$$

Положим $$t=\sqrt[6]{x},$$ тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2.$$ Получаем:

$$2t^2+t-1=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$

Тогда:

$$t_1=\frac12,\quad t_2=-1.$$

Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит.

Значит,

$$\sqrt[6]{x}=\frac12 \Rightarrow x=\frac{1}{64}.$$

Ответ: $$\frac{1}{64}.$$

г) $$\sqrt[4]{x}+2\sqrt[8]{x}-3=0.$$

Положим $$t=\sqrt[8]{x},$$ тогда $$\sqrt[4]{x}=t^2.$$ Получаем:

$$t^2+2t-3=0.$$

$$\left(t-1\right)\left(t+3\right)=0.$$

Отсюда:

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=-3.$$

Так как $$t=\sqrt[8]{x}\ge 0,$$ значение $$t=-3$$ не подходит.

Значит,

$$\sqrt[8]{x}=1 \Rightarrow x=1.$$

Ответ: $$1.$$