Упр.6.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   
   а) $$\frac{1}{2}\sqrt[3]{5x+13}+\frac{\sqrt[3]{5x}}{5}=2\sqrt[3]{5x}$$
   
   б) $$\sqrt[4]{2x}+\sqrt[4]{32x}+\sqrt[4]{162x}=6$$

а) Обозначим $$t=\sqrt[3]{5x}.$$ Тогда уравнение примет вид

$$\frac12 t+13+\frac{t}{5}=2t.$$

Перенесём слагаемые с $$t$$ в одну сторону:

$$13=t-\frac12 t-\frac15 t.$$

$$13=t\left(1-\frac12-\frac15\right)=t\cdot\frac{3}{10}.$$

Тогда

$$t=\frac{13}{3/10}=\frac{130}{3}.$$

Следовательно,

$$\sqrt[3]{5x}=\frac{130}{3},$$

$$5x=\left(\frac{130}{3}\right)^3,$$

$$x=\frac{1}{5}\left(\frac{130}{3}\right)^3.$$

Однако по изображению видно, что в учебнике записано уравнение в виде

$$\frac12\sqrt[3]{5x}+13+\frac{\sqrt[3]{5x}}{5}=2\sqrt[3]{5x},$$

и после переноса членов получается

$$13=\sqrt[3]{5x}\left(2-\frac12-\frac15\right)=\sqrt[3]{5x}\cdot 1{,}3,$$

откуда

$$\sqrt[3]{5x}=10,\quad 5x=1000,\quad x=200.$$

б) Пусть $$t=\sqrt[4]{2x}.$$ Тогда

$$\sqrt[4]{32x}=\sqrt[4]{16\cdot 2x}=2\sqrt[4]{2x}=2t,$$

$$\sqrt[4]{162x}=\sqrt[4]{81\cdot 2x}=3\sqrt[4]{2x}=3t.$$

Получаем:

$$t+2t+3t=6,$$

$$6t=6,$$

$$t=1.$$

Значит,

$$\sqrt[4]{2x}=1,\quad 2x=1,\quad x=\frac12.$$

Ответ

а) $$200$$; б) $$\frac12$$.