Упр.6.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Вынесите переменные из-под знака корня:
   а) $$\sqrt[4]{a^6b^9}-\sqrt[4]{-a^7b^5}$$
   б) $$\sqrt[6]{-l^7m^{12}}+\sqrt[4]{-l^4m^{15}}$$

а) $$\sqrt[4]{a^6b^9}-\sqrt[4]{-a^7b^5}$$

Представим подкоренные выражения в виде произведения полного четвёртого степенного множителя и оставшегося множителя:

$$\sqrt[4]{a^6b^9}=\sqrt[4]{a^4b^8\cdot a^2b}=|ab^2|\sqrt[4]{a^2b}$$

$$\sqrt[4]{-a^7b^5}=\sqrt[4]{a^4b^4\cdot(-a^3b)}=|ab|\sqrt[4]{-a^3b}$$

Так как $$a^6b^9\ge 0$$ и $$-a^7b^5\ge 0,$$ то $$b\ge 0,$$ $$a\le 0.$$ Тогда $$|ab^2|=-ab^2,$$ $$|ab|=-ab.$$

Следовательно,

$$\sqrt[4]{a^6b^9}-\sqrt[4]{-a^7b^5}=-ab^2\sqrt[4]{a^2b}+ab\sqrt[4]{-a^3b}.$$

б) $$\sqrt[6]{-l^7m^{12}}+\sqrt[4]{-l^4m^{15}}$$

Выделим полные степени:

$$\sqrt[6]{-l^7m^{12}}=\sqrt[6]{l^6m^{12}\cdot(-l)}=|lm^2|\sqrt[6]{-l}$$

$$\sqrt[4]{-l^4m^{15}}=\sqrt[4]{l^4m^{12}\cdot(-m^3)}=|lm^3|\sqrt[4]{-m^3}$$

Из условий существования корней получаем $$l\le 0,$$ $$m\le 0.$$ Поэтому $$|lm^2|=-lm^2,$$ $$|lm^3|=lm^3.$$

Тогда

$$\sqrt[6]{-l^7m^{12}}+\sqrt[4]{-l^4m^{15}}=-lm^2\sqrt[6]{-l}+lm^3\sqrt[4]{-m^3}.$$

Ответ

а) $$-ab^2\sqrt[4]{a^2b}+ab\sqrt[4]{-a^3b}$$

б) $$-lm^2\sqrt[6]{-l}+lm^3\sqrt[4]{-m^3}$$