Упр.6.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}$$;
б) $$\sqrt[3]{29\sqrt{2}-45}-\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}$$;
в) $$\sqrt[3]{38-17\sqrt{5}}+\sqrt[3]{17\sqrt{5}+38}$$;
г) $$\sqrt[3]{170+78\sqrt{3}}-\sqrt[3]{78\sqrt{3}-170}$$.
а) Обозначим
$$x=\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}.$$
Тогда
$$x^3=(26-15\sqrt3)+(26+15\sqrt3)+3\sqrt[3]{(26-15\sqrt3)(26+15\sqrt3)}\cdot x.$$
Вычислим произведение:
$$(26-15\sqrt3)(26+15\sqrt3)=26^2-(15\sqrt3)^2=676-675=1.$$
Значит,
$$x^3=52+3x,$$
$$x^3-3x-52=0.$$
Проверим корень $$x=4$$:
$$4^3-3\cdot4-52=64-12-52=0.$$
Тогда
$$x^3-3x-52=(x-4)(x^2+4x+13).$$
У квадратного трёхчлена
$$D=4^2-4\cdot13=16-52=-36<0,$$
поэтому других действительных корней нет. Следовательно, $$x=4.$$
б) Обозначим
$$x=\sqrt[3]{29\sqrt2-45}-\sqrt[3]{45+29\sqrt2}.$$
Тогда
$$x^3=(29\sqrt2-45)-(45+29\sqrt2)-3\sqrt[3]{(29\sqrt2-45)(45+29\sqrt2)}\cdot x.$$
Вычислим:
$$(29\sqrt2-45)(45+29\sqrt2)=1682-2025=-343.$$
Значит,
$$x^3=-90-3\sqrt[3]{-343}\,x=-90+21x,$$
то есть
$$x^3-21x+90=0.$$
Проверим корень $$x=-6$$:
$$(-6)^3-21(-6)+90=-216+126+90=0.$$
Тогда
$$x^3-21x+90=(x+6)(x^2-6x+15).$$
У квадратного трёхчлена
$$D=6^2-4\cdot15=36-60=-24<0,$$
поэтому действительный корень один: $$x=-6.$$
в) Обозначим
$$x=\sqrt[3]{38-17\sqrt5}+\sqrt[3]{38+17\sqrt5}.$$
Тогда
$$x^3=(38-17\sqrt5)+(38+17\sqrt5)+3\sqrt[3]{(38-17\sqrt5)(38+17\sqrt5)}\cdot x.$$
Вычислим:
$$(38-17\sqrt5)(38+17\sqrt5)=38^2-(17\sqrt5)^2=1444-1445=-1.$$
Следовательно,
$$x^3=76+3\sqrt[3]{-1}\,x=76-3x,$$
то есть
$$x^3+3x-76=0.$$
Проверим корень $$x=4$$:
$$4^3+3\cdot4-76=64+12-76=0.$$
Тогда
$$x^3+3x-76=(x-4)(x^2+4x+19).$$
У квадратного трёхчлена
$$D=4^2-4\cdot19=16-76=-60<0,$$
поэтому действительный корень один: $$x=4.$$
г) Обозначим
$$x=\sqrt[3]{170+78\sqrt3}-\sqrt[3]{78\sqrt3-170}.$$
Тогда
$$x^3=(170+78\sqrt3)-(78\sqrt3-170)-3\sqrt[3]{(170+78\sqrt3)(78\sqrt3-170)}\cdot x.$$
Вычислим:
$$(170+78\sqrt3)(78\sqrt3-170)=18252-28900=-10648,$$
а значит
$$\sqrt[3]{-10648}=-22.$$
Следовательно,
$$x^3=340+66x,$$
то есть
$$x^3-66x-340=0.$$
Проверим корень $$x=10$$:
$$10^3-66\cdot10-340=1000-660-340=0.$$
Тогда
$$x^3-66x-340=(x-10)(x^2+10x+34).$$
У квадратного трёхчлена
$$D=10^2-4\cdot34=100-136=-36<0,$$
поэтому действительный корень один: $$x=10.$$
Ответ
а) $$4$$; б) $$-6$$; в) $$4$$; г) $$10$$.
